Trigonometrie Beispiele

${(1 - i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 \cdot 1 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 + 3 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 3 (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- i \sqrt{3}$ an.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.6.2

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.9

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.10

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{1}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.11

Multipliziere $3 (- 1 \cdot 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.11.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 2.1.12

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.12.1

Wende die Produktregel auf $- i \sqrt{3}$ an.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Schritt 2.1.12.2

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Schritt 2.1.13

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Schritt 2.1.14

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Schritt 2.1.15

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Schritt 2.1.16

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - - i {\sqrt{3}}^{3}$

Schritt 2.1.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 1 i {\sqrt{3}}^{3}$

Schritt 2.1.18

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i {\sqrt{3}}^{3}$

Schritt 2.1.19

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{3}}$

Schritt 2.1.20

Potenziere $3$ mit $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{27}$

Schritt 2.1.21

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.21.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{9 (3)}$

Schritt 2.1.21.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Schritt 2.1.22

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i (3 \sqrt{3})$

Schritt 2.1.23

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 3 i \sqrt{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$- 3 i \sqrt{3} - 8 + 3 i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 3 i \sqrt{3}$ und $3 i \sqrt{3}$ .

$0 - 8$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$- 8$