Trigonometrie Beispiele

${(1 + i)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1^{4} + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 4 \cdot 1 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 4 i + 6 \cdot 1 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$1 + 4 i + 6 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 i^{3} + i^{4}$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 + 4 i - 6 + 4 (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

Schritt 2.1.10

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 4 i - 6 + 4 (- 1 \cdot i) + i^{4}$

Schritt 2.1.11

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 + 4 i - 6 + 4 (- i) + i^{4}$

Schritt 2.1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + i^{4}$

Schritt 2.1.13

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.13.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.13.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.1.13.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$- 5 + 4 i - 4 i + 1$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 5$ und $1$ .

$- 4 + 4 i - 4 i$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $4 i$ von $4 i$ .

$- 4 + 0$

Schritt 2.2.4

Addiere $- 4$ und $0$ .

$- 4$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 4$ und $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 16}$

Schritt 6.3

Addiere $0$ und $16$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Schritt 6.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Schritt 6.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 4$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 4})$

Schritt 8

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{0}{- 4}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $π$ .

$θ = π$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = π$ und $| z | = 4$ .

$4 (\cos (π) + i \sin (π))$