Trigonometrie Beispiele

$3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 1$

Schritt 1

Wende die Identitätsgleichung an, um die Gleichung zu lösen. In dieser Identitätsgleichung stellt $θ$ den Winkel dar, der erzeugt wird durch Einzeichnen von Punkt $(a, b)$ auf einem Graphen und kann daher durch Anwenden von $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ ermittelt werden.

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , wobei $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ und $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Schritt 2

Stelle die Gleichung auf, um den Wert von $θ$ zu finden.

$\tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Schritt 3

Wende den inversen Tangens an, um die Gleichung nach $θ$ aufzulösen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\tan^{-1} (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Schritt 4

Löse, um den Wert von $R$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$R = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$R = \sqrt{9 + 9}$

Schritt 4.3

Addiere $9$ und $9$ .

$R = \sqrt{18}$

Schritt 4.4

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$R = \sqrt{9 (2)}$

Schritt 4.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$R = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$R = 3 \sqrt{2}$

Schritt 5

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$(3 \sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ durch $3 \sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ durch $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $\sin (x - \frac{π}{4})$ durch $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 6.3.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 6.3.2.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 6.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

Schritt 6.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{6}$

Schritt 7

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$

Schritt 8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1

Berechne $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$ .

$x - \frac{π}{4} = 0.23794112$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 0.23794112 + \frac{π}{4}$

Schritt 9.2

Addiere $0.23794112$ und $\frac{π}{4}$ .

$x = 1.02333928$

Schritt 10

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x - \frac{π}{4} = (3.14159265) - 0.23794112$

Schritt 11

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Subtrahiere $0.23794112$ von $3.14159265$ .

$x - \frac{π}{4} = 2.90365152$

Schritt 11.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 11.2.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2.90365152 + \frac{π}{4}$

Schritt 11.2.2

Addiere $2.90365152$ und $\frac{π}{4}$ .

$x = 3.68904969$

Schritt 12

Ermittele die Periode von $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

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Schritt 12.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13

Die Periode der Funktion $\sin (x - \frac{π}{4})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.02333928 + 2 π n, 3.68904969 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$