Trigonometrie Beispiele

$2 (1 - \cos^{2} (x)) = \frac{3}{2}$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $2 (1 - \cos^{2} (x)) = \frac{3}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (1 - \cos^{2} (x)) = \frac{3}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $1 - \cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{\frac{3}{2}}{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.3.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{3}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos^{2} (x) = \frac{3}{4} - 1$

Schritt 2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \cos^{2} (x) = \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \cos^{2} (x) = \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \cos^{2} (x) = \frac{3 - 1 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- \cos^{2} (x) = \frac{3 - 4}{4}$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$- \cos^{2} (x) = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \cos^{2} (x) = - \frac{1}{4}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- \cos^{2} (x) = - \frac{1}{4}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos^{2} (x) = - \frac{1}{4}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos^{2} (x) = \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Schritt 3.3.2

Dividiere $\frac{1}{4}$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Schritt 4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 5.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 8

Löse in $\cos (x) = \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $60$ .

$x = 60$

Schritt 8.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 360 - 60$

Schritt 8.4

Subtrahiere $60$ von $360$ .

$x = 300$

Schritt 8.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 8.6

Die Periode der $\cos (x)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Löse in $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $120$ .

$x = 120$

Schritt 9.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 360 - 120$

Schritt 9.4

Subtrahiere $120$ von $360$ .

$x = 240$

Schritt 9.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 9.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 9.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 9.6

Die Periode der $\cos (x)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 120 + 360 n, 240 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Liste alle Lösungen auf.

$x = 60 + 360 n, 300 + 360 n, 120 + 360 n, 240 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 11

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 11.1

Führe $60 + 360 n$ und $240 + 360 n$ zu $60 + 180 n$ zusammen.

$x = 60 + 180 n, 300 + 360 n, 120 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 11.2

Führe $300 + 360 n$ und $120 + 360 n$ zu $120 + 180 n$ zusammen.

$x = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$