Trigonometrie Beispiele

$2 \sin (x) \tan (x) = 9 \tan (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $9 \tan (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) \tan (x) - 9 \tan (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $2 \sin (x) \tan (x) - 9 \tan (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $2 \sin (x) \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) (2 \sin (x)) - 9 \tan (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $- 9 \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) \cdot - 9 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) \cdot - 9$ heraus.

$\tan (x) (2 \sin (x) - 9) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

$2 \sin (x) - 9 = 0$

Schritt 4

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.3

Die Tangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 180 + 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $180$ und $0$ .

$x = 180$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 4.2.6

Die Periode der $\tan (x)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 180 n, 180 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Setze $2 \sin (x) - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 \sin (x) - 9$ gleich $0$ .

$2 \sin (x) - 9 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 \sin (x) - 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) = 9$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = 9$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = 9$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{9}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{9}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{9}{2}$

Schritt 5.2.3

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $\frac{9}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\tan (x) (2 \sin (x) - 9) = 0$ wahr machen.

$x = 180 n, 180 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$