Trigonometrie Beispiele

$3 \sin^{2} (θ) - 4 = - 4 \sin (θ)$

Schritt 1

Addiere $4 \sin (θ)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin^{2} (θ) - 4 + 4 \sin (θ) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Stelle die Terme um.

$3 \sin^{2} (θ) + 4 \sin (θ) - 4 = 0$

Schritt 2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sin (θ)$ heraus.

$3 \sin^{2} (θ) + 4 \sin (θ) - 4 = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $4$ um als $- 2$ plus $6$

$3 \sin^{2} (θ) + (- 2 + 6) \sin (θ) - 4 = 0$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \sin^{2} (θ) - 2 \sin (θ) + 6 \sin (θ) - 4 = 0$

Schritt 2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$3 \sin^{2} (θ) - 2 \sin (θ) + 6 \sin (θ) - 4 = 0$

Schritt 2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\sin (θ) (3 \sin (θ) - 2) + 2 (3 \sin (θ) - 2) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 \sin (θ) - 2$ .

$(3 \sin (θ) - 2) (\sin (θ) + 2) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 \sin (θ) - 2 = 0$

$\sin (θ) + 2 = 0$

Schritt 4

Setze $3 \sin (θ) - 2$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $3 \sin (θ) - 2$ gleich $0$ .

$3 \sin (θ) - 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3 \sin (θ) - 2 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin (θ) = 2$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (θ) = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (θ) = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (θ)$ durch $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (\frac{2}{3})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Berechne $\arcsin (\frac{2}{3})$ .

$θ = 41.81031489$

Schritt 4.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = 180 - 41.81031489$

Schritt 4.2.6

Subtrahiere $41.81031489$ von $180$ .

$θ = 138.1896851$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 4.2.8

Die Periode der $\sin (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 41.81031489 + 360 n, 138.1896851 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Setze $\sin (θ) + 2$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\sin (θ) + 2$ gleich $0$ .

$\sin (θ) + 2 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\sin (θ) + 2 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (θ) = - 2$

Schritt 5.2.2

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- 2$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 \sin (θ) - 2) (\sin (θ) + 2) = 0$ wahr machen.

$θ = 41.81031489 + 360 n, 138.1896851 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$