Trigonometrie Beispiele

$(2 \sqrt{5}, 4)$

Schritt 1

Um den $\csc (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(2 \sqrt{5}, 4)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(2 \sqrt{5}, 0)$ und $(2 \sqrt{5}, 4)$ .

Gegenüberliegend : $4$

Ankathete : $2 \sqrt{5}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5}$ an.

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {(4)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} + {(4)}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(4)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} + {(4)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{4 \cdot 5 + {(4)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\sqrt{20 + {(4)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{20 + 16}$

Schritt 2.3.3

Addiere $20$ und $16$ .

$\sqrt{36}$

Schritt 2.3.4

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\sqrt{6^{2}}$

Schritt 2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$6$

Schritt 3

Aus $\csc (θ) = \frac{Hypotenuse}{Gegenüberliegend}$ folgt $\csc (θ) = \frac{6}{4}$ .

$\frac{6}{4}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\csc (θ) = \frac{2 (3)}{4}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\csc (θ) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = \frac{3}{2}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\csc (θ) = \frac{3}{2} \approx 1.5$