Trigonometrie Beispiele

Solve for θ in Radians -2cos(theta)^2+sin(theta)+1=0
Schritt 1
Ersetze die durch basierend auf der -Identitätsgleichung.
Schritt 2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3
Addiere und .
Schritt 4
Ersetze durch .
Schritt 5
Faktorisiere durch Gruppieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.1
Multipliziere mit .
Schritt 5.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 5.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 5.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 5.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 6
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 7
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1
Setze gleich .
Schritt 7.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 7.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 7.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 8
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.1
Setze gleich .
Schritt 8.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 9
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 10
Ersetze durch .
Schritt 11
Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach aufzulösen.
Schritt 12
Löse in nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.1
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 12.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 12.3
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 12.4
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.4.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 12.4.2
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.4.2.1
Kombiniere und .
Schritt 12.4.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 12.4.3
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.4.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 12.4.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 12.5
Ermittele die Periode von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 12.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 12.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 12.5.4
Dividiere durch .
Schritt 12.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 13
Löse in nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 13.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 13.3
Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 13.4
Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.4.1
Subtrahiere von .
Schritt 13.4.2
Der resultierende Winkel von ist positiv, kleiner als und gleich .
Schritt 13.5
Ermittele die Periode von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 13.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 13.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 13.5.4
Dividiere durch .
Schritt 13.6
Addiere zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.6.1
Addiere zu , um den positiven Winkel zu bestimmen.
Schritt 13.6.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 13.6.3
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.6.3.1
Kombiniere und .
Schritt 13.6.3.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 13.6.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.6.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.6.4.2
Subtrahiere von .
Schritt 13.6.5
Liste die neuen Winkel auf.
Schritt 13.7
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 14
Liste alle Lösungen auf.
, für jede Ganzzahl
Schritt 15
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede Ganzzahl