Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$ nicht definiert ist.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 4 \cdot 5 = - 20$ und deren Summe gleich $b = - 8$ ist.

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Schritt 5.1.1.1.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{- 4 x^{2} - 8 (x) + 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.1.1.2

Schreibe $- 8$ um als $2$ plus $- 10$

$\frac{- 4 x^{2} + (2 - 10) x + 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x - 10 x + 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 4 x^{2} + 2 x) - 10 x + 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x (- 2 x + 1) + 5 (- 2 x + 1)}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 x + 1$ .

$\frac{(- 2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{(- (2 x) + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{(- (2 x) - 1 (- 1)) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.5.1

Schreibe $- (2 x - 1)$ als $- 1 (2 x - 1)$ um.

$\frac{- 1 (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Schritt 5.2

Multipliziere $- (2 x - 1) (2 x + 5)$ aus.

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Schritt 5.2.1

Kehre das Vorzeichen von $2 x - 1$ um.

$\frac{- (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- (2 x) + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.6

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot (2 x (2 x)) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.7

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot (2 x) \cdot (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.8

Bewege $x$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.9

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot (2 x) \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.10

Bewege $x$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.11

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.13

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4 x \cdot x - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.17

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.19

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.21

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.22

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.23

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.24

Addiere $- 10 x$ und $2 x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$

Schritt 5.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{2}$

$8 x$

$5$

Schritt 5.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				-	$2 x$
	$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			-	$4 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 5.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} - 2 x$

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 5.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$

Schritt 5.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$

Schritt 5.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$

Schritt 5.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					-	$6 x$	-	$3$

Schritt 5.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x - 3$

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					+	$6 x$	+	$3$

Schritt 5.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					+	$6 x$	+	$3$
							+	$8$

Schritt 5.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- 2 x - 3 + \frac{8}{2 x + 1}$

Schritt 5.14

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - 2 x - 3$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{1}{2}$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - 2 x - 3$

Schritt 7