Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\sin (θ)}{1 + \sin (θ)} - \frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Schritt 1

Um $\frac{\sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{1 + \sin (θ)} \cdot \frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)} - \frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Schritt 2

Um $- \frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{1 + \sin (θ)} \cdot \frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)} - \frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)} \cdot \frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ mit $\frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))} - \frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)} \cdot \frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ mit $\frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))} - \frac{\sin (θ) (1 + \sin (θ))}{(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))$ um.

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))} - \frac{\sin (θ) (1 + \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ)) - \sin (θ) (1 + \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin (θ) (1 - \sin (θ)) - \sin (θ) (1 + \sin (θ))$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $- \sin (θ) (1 + \sin (θ))$ heraus.

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ)) + \sin (θ) (- (1 + \sin (θ)))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin (θ) (1 - \sin (θ)) + \sin (θ) (- (1 + \sin (θ)))$ heraus.

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ) - (1 + \sin (θ)))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ) - 1 \cdot 1 - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ) - 1 - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{\sin (θ) (0 - \sin (θ) - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 5.5

Subtrahiere $\sin (θ)$ von $0$ .

$\frac{\sin (θ) (- \sin (θ) - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 5.6

Subtrahiere $\sin (θ)$ von $- \sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot - 2 \sin (θ)}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 5.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.7.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (\sin^{1} (θ) \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 5.7.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 5.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 {\sin (θ)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 5.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ)}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \sin^{2} (θ)}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$