Elementarmathematik Beispiele

Ermittle die Umkehrfunktion y=2x^2-5
Schritt 1
Vertausche die Variablen.
Schritt 2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 2.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.4
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 2.5
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.5.2
Schreibe als um.
Schritt 2.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.4
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.4.2
Potenziere mit .
Schritt 2.5.4.3
Potenziere mit .
Schritt 2.5.4.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.4.5
Addiere und .
Schritt 2.5.4.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.4.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 2.5.4.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.5.4.6.3
Kombiniere und .
Schritt 2.5.4.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.4.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.5.4.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.5.4.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 2.5.5
Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.
Schritt 2.5.6
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 2.6
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.6.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 2.6.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 2.6.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 3
Ersetze durch , um die endgültige Lösung anzuzeigen.
Schritt 4
Überprüfe, ob die Umkehrfunktion von ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von und und vergleiche sie.
Schritt 4.2
Finde den Wertebereich von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1
Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.
Intervallschreibweise:
Schritt 4.3
Bestimme den Definitionsbereich von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.1
Setze den Radikanden in größer als oder gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 4.3.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 4.3.2.1.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.2.1.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 4.3.2.1.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.3.1
Dividiere durch .
Schritt 4.3.2.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Ungleichung.
Schritt 4.3.3
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Schritt 4.4
Bestimme den Definitionsbereich von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.4.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 4.5
Da der Definitionsbereich von der Wertebereich von ist und der Wertebereich von der Definitionsbereich von ist, ist die inverse Funktion von .
Schritt 5