Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = {(x^{\frac{2}{3}} - 1)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{\frac{2}{3}} - 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{2}{3}} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{2}{3}} - 1$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{2}{3}} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 7.3

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0)$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Addiere $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ und $0$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ und $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} - 1)$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} - 1)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Schritt 10.2

Vereine die Terme

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Schritt 10.2.2

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{4 x^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Schritt 10.2.3

Multipliziere $x^{\frac{2}{3}}$ mit $x^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.3.1

Bewege $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 (x^{- \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Schritt 10.2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{- \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Schritt 10.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x^{\frac{- 1 + 2}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Schritt 10.2.3.4

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Schritt 10.2.4

Kombiniere $\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ und $- 1$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot - 1}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$