Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2 x} + 4}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2 x} + 4 \cdot \frac{2 x}{2 x}}$

Schritt 1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{2 x}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2 x} + \frac{4 (2 x)}{2 x}}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 4 (2 x)}{2 x}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 8 x}{2 x}}$

Schritt 3

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 8 x}{2 x}}$ als $e^{\ln ({(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 8 x}{2 x}})}$ um.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 8 x}{2 x}})}$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln ({(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 8 x}{2 x}})$ durch Herausziehen von $\frac{1 + 8 x}{2 x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1 + 8 x}{2 x} \ln (1 - 3 x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + 8 x}{2 x} \ln (1 - 3 x)}$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{1 + 8 x}{2 x}$ und $\ln (1 - 3 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)}{2 x}}$

Schritt 4.3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)}{x}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} (1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + 8 x \cdot lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 8 x) \cdot lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + lim_{x \to 0} 8 x) \cdot lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2.4

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2.5

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 lim_{x \to 0} x) \cdot \ln (lim_{x \to 0} 1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 lim_{x \to 0} x) \cdot \ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 lim_{x \to 0} x) \cdot \ln (1 - lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2.8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 lim_{x \to 0} x) \cdot \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2.9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1.2.9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 \cdot 0) \cdot \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2.9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 \cdot 0) \cdot \ln (1 - 3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2.10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.2.10.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 0) \cdot \ln (1 - 3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2.10.2

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot \ln (1 - 3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2.10.3

Mutltipliziere $\ln (1 - 3 \cdot 0)$ mit $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (1 - 3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2.10.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2.10.5

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.2.10.6

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Schritt 5.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + 8 x$ und $g (x) = \ln (1 - 3 x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{d}{d x} [\ln (1 - 3 x)] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 - 3 x$ .

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Schritt 5.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - 3 x$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - 3 x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - 3 x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - 3 x$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{1 - 3 x} \frac{d}{d x} [1 - 3 x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{1 - 3 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{1 - 3 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{1 - 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{1 - 3 x} \cdot - 3 \frac{d}{d x} [x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.8

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{1 - 3 x}$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{- 3}{1 - 3 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \cdot - 1 \frac{3}{1 - 3 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \cdot - 1 \frac{3}{1 - 3 x} \cdot 1 + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.11

Mutltipliziere $1 + 8 x$ mit $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} \cdot (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 8 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [8 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.13

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [8 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.14

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.15

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) \cdot 8 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) \cdot 8 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.17

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) \cdot 8}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.18

Bringe $8$ auf die linke Seite von $\ln (1 - 3 x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + 8 \cdot \ln (1 - 3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.19

Stelle die Terme um.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (1 + 8 x) \frac{3}{1 - 3 x} + 8 \ln (1 - 3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.20

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (1 + 8 x) \frac{3}{1 - 3 x} + 8 \ln (1 - 3 x)}{1}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- (1 + 8 x)$ mit $\frac{3}{1 - 3 x}$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (1 + 8 x) \cdot 3}{1 - 3 x} + 8 \ln (1 - 3 x)}{1}}$

Schritt 5.5

Vereine die Terme

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Schritt 5.5.1

Um $8 \ln (1 - 3 x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - 3 x}{1 - 3 x}$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (1 + 8 x) \cdot 3}{1 - 3 x} + \frac{8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{1 - 3 x}}{1}}$

Schritt 5.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (1 + 8 x) \cdot 3 + 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{1 - 3 x}}{1}}$

Schritt 5.6

Dividiere $\frac{- (1 + 8 x) \cdot 3 + 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{1 - 3 x}$ durch $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (1 + 8 x) \cdot 3 + 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{1 - 3 x}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - (1 + 8 x) \cdot 3 + 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Schritt 6.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} (1 + 8 x) \cdot 3 + lim_{x \to 0} 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Schritt 6.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} 1 + 8 x + lim_{x \to 0} 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Schritt 6.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Schritt 6.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Schritt 6.6

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Schritt 6.7

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Schritt 6.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Schritt 6.9

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (lim_{x \to 0} 1 - 3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Schritt 6.10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Schritt 6.11

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Schritt 6.12

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Schritt 6.13

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Schritt 6.14

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Schritt 6.15

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Schritt 6.16

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x}}$

Schritt 6.17

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{1 - lim_{x \to 0} 3 x}}$

Schritt 6.18

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{1 - 3 lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 \cdot 0) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{1 - 3 lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 \cdot 0) + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{1 - 3 lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 \cdot 0) + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 7.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 \cdot 0) + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 0) + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 1 + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 8 \ln (1 + 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 8 \ln (1) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.6

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 8 \cdot 0 \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.7

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 0 \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 0 \cdot (1 + 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.9

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 0 \cdot 1}{1 - 3 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.10

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 0}{1 - 3 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.11

Addiere $- 3$ und $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{1 - 3 \cdot 0}}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{1 + 0}}$

Schritt 8.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{1}}$

Schritt 8.3

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot - 3}$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 3$ .

$e^{\frac{- 3}{2}}$

Schritt 8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 8.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Dezimalform:

$0.22313016 \dots$