Elementarmathematik Beispiele

$\ln (r^{8} s^{6} \sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$

Schritt 1

Schreibe $\ln (r^{8} s^{6} \sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$ als $\ln (r^{8} s^{6}) + \ln (\sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$ um.

$\ln (r^{8} s^{6}) + \ln (\sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$

Schritt 2

Schreibe $\ln (r^{8} s^{6})$ als $\ln (r^{8}) + \ln (s^{6})$ um.

$\ln (r^{8}) + \ln (s^{6}) + \ln (\sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{r^{9} s^{2}}$ als ${(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\ln (r^{8}) + \ln (s^{6}) + \ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (r^{8})$ durch Herausziehen von $8$ aus dem Logarithmus.

$8 \ln (r) + \ln (s^{6}) + \ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5

Zerlege $\ln (s^{6})$ durch Herausziehen von $6$ aus dem Logarithmus.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6

Zerlege $\ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{3}$ aus dem Logarithmus.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} \ln (r^{9} s^{2})$

Schritt 7

Schreibe $\ln (r^{9} s^{2})$ als $\ln (r^{9}) + \ln (s^{2})$ um.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (\ln (r^{9}) + \ln (s^{2}))$

Schritt 8

Zerlege $\ln (r^{9})$ durch Herausziehen von $9$ aus dem Logarithmus.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (9 \ln (r) + \ln (s^{2}))$

Schritt 9

Zerlege $\ln (s^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (9 \ln (r) + 2 \ln (s))$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (9 \ln (r)) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9 \ln (r)$ heraus.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (3 (3 \ln (r))) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (3 (3 \ln (r))) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + 3 \ln (r) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Schritt 10.3

Multipliziere $\frac{1}{3} (2 \ln (s))$ .

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Schritt 10.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + 3 \ln (r) + \frac{2}{3} \ln (s)$

Schritt 10.3.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\ln (s)$ .

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + 3 \ln (r) + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Schritt 11

Addiere $8 \ln (r)$ und $3 \ln (r)$ .

$11 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Schritt 12

Um $6 \ln (s)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$11 \ln (r) + 6 \ln (s) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Schritt 13

Kombiniere $6 \ln (s)$ und $\frac{3}{3}$ .

$11 \ln (r) + \frac{6 \ln (s) \cdot 3}{3} + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Schritt 14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$11 \ln (r) + \frac{6 \ln (s) \cdot 3 + 2 \ln (s)}{3}$

Schritt 15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$11 \ln (r) + \frac{18 \ln (s) + 2 \ln (s)}{3}$

Schritt 15.2

Addiere $18 \ln (s)$ und $2 \ln (s)$ .

$11 \ln (r) + \frac{20 \ln (s)}{3}$