Elementarmathematik Beispiele

$\ln (r^{7} s^{8} \sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$

Schritt 1

Schreibe $\ln (r^{7} s^{8} \sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$ als $\ln (r^{7} s^{8}) + \ln (\sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$ um.

$\ln (r^{7} s^{8}) + \ln (\sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$

Schritt 2

Schreibe $\ln (r^{7} s^{8})$ als $\ln (r^{7}) + \ln (s^{8})$ um.

$\ln (r^{7}) + \ln (s^{8}) + \ln (\sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{r^{4} s^{9}}$ als ${(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$\ln (r^{7}) + \ln (s^{8}) + \ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (r^{7})$ durch Herausziehen von $7$ aus dem Logarithmus.

$7 \ln (r) + \ln (s^{8}) + \ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 5

Zerlege $\ln (s^{8})$ durch Herausziehen von $8$ aus dem Logarithmus.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 6

Zerlege $\ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{7}$ aus dem Logarithmus.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} \ln (r^{4} s^{9})$

Schritt 7

Schreibe $\ln (r^{4} s^{9})$ als $\ln (r^{4}) + \ln (s^{9})$ um.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (\ln (r^{4}) + \ln (s^{9}))$

Schritt 8

Zerlege $\ln (r^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (4 \ln (r) + \ln (s^{9}))$

Schritt 9

Zerlege $\ln (s^{9})$ durch Herausziehen von $9$ aus dem Logarithmus.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (4 \ln (r) + 9 \ln (s))$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (4 \ln (r)) + \frac{1}{7} (9 \ln (s))$

Schritt 10.2

Multipliziere $\frac{1}{7} (4 \ln (r))$ .

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{7}$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4}{7} \ln (r) + \frac{1}{7} (9 \ln (s))$

Schritt 10.2.2

Kombiniere $\frac{4}{7}$ und $\ln (r)$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{1}{7} (9 \ln (s))$

Schritt 10.3

Multipliziere $\frac{1}{7} (9 \ln (s))$ .

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Schritt 10.3.1

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{7}$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9}{7} \ln (s)$

Schritt 10.3.2

Kombiniere $\frac{9}{7}$ und $\ln (s)$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Schritt 11

Um $7 \ln (r)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$8 \ln (s) + 7 \ln (r) \cdot \frac{7}{7} + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Schritt 12

Kombiniere $7 \ln (r)$ und $\frac{7}{7}$ .

$8 \ln (s) + \frac{7 \ln (r) \cdot 7}{7} + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Schritt 13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 \ln (s) + \frac{7 \ln (r) \cdot 7 + 4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Schritt 14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.1

Faktorisiere $\ln (r)$ aus $7 \ln (r) \cdot 7 + 4 \ln (r)$ heraus.

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Schritt 14.1.1.1

Faktorisiere $\ln (r)$ aus $7 \ln (r) \cdot 7$ heraus.

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (7 \cdot 7) + 4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Schritt 14.1.1.2

Faktorisiere $\ln (r)$ aus $4 \ln (r)$ heraus.

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (7 \cdot 7) + \ln (r) \cdot 4}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Schritt 14.1.1.3

Faktorisiere $\ln (r)$ aus $\ln (r) (7 \cdot 7) + \ln (r) \cdot 4$ heraus.

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (7 \cdot 7 + 4)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (49 + 4)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Schritt 14.1.3

Addiere $49$ und $4$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) \cdot 53}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Schritt 14.2

Bringe $53$ auf die linke Seite von $\ln (r)$ .

$8 \ln (s) + \frac{53 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Schritt 15

Um $8 \ln (s)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$8 \ln (s) \cdot \frac{7}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7} + \frac{53 \ln (r)}{7}$

Schritt 16

Kombiniere $8 \ln (s)$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{8 \ln (s) \cdot 7}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7} + \frac{53 \ln (r)}{7}$

Schritt 17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 \ln (s) \cdot 7 + 9 \ln (s)}{7} + \frac{53 \ln (r)}{7}$

Schritt 18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 \ln (s) \cdot 7 + 9 \ln (s) + 53 \ln (r)}{7}$

Schritt 19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.1

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$\frac{56 \ln (s) + 9 \ln (s) + 53 \ln (r)}{7}$

Schritt 19.2

Addiere $56 \ln (s)$ und $9 \ln (s)$ .

$\frac{65 \ln (s) + 53 \ln (r)}{7}$