Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} (\sqrt{22} - 4) + \log_{3} (\sqrt{22} + 4)$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((\sqrt{22} - 4) (\sqrt{22} + 4))$

Schritt 2

Multipliziere $(\sqrt{22} - 4) (\sqrt{22} + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{3} (\sqrt{22} (\sqrt{22} + 4) - 4 (\sqrt{22} + 4))$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{3} (\sqrt{22} \sqrt{22} + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 (\sqrt{22} + 4))$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{3} (\sqrt{22} \sqrt{22} + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\log_{3} (\sqrt{22 \cdot 22} + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $22$ mit $22$ .

$\log_{3} (\sqrt{484} + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Schritt 3.1.3

Schreibe $484$ als $22^{2}$ um.

$\log_{3} (\sqrt{22^{2}} + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Schritt 3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\log_{3} (22 + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Schritt 3.1.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{22}$ .

$\log_{3} (22 + 4 \cdot \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\log_{3} (22 + 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} - 16)$

Schritt 3.2

Subtrahiere $16$ von $22$ .

$\log_{3} (6 + 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22})$

Schritt 3.3

Subtrahiere $4 \sqrt{22}$ von $4 \sqrt{22}$ .

$\log_{3} (6 + 0)$

Schritt 3.4

Addiere $6$ und $0$ .

$\log_{3} (6)$

Schritt 4

Schreibe $\log_{3} (6)$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 4.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Schritt 4.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (6)}{\log (3)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\log (6)}{\log (3)}$

Dezimalform:

$1.63092975 \dots$