Elementarmathematik Beispiele

$\log_{4} (x^{2} - 1) - 5 \log_{4} (x + 1)$

Schritt 1

Vereinfache $- 5 \log_{4} (x + 1)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{4} (x^{2} - 1) - \log_{4} ({(x + 1)}^{5})$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{5}})$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\log_{4} (\frac{x^{2} - 1^{2}}{{(x + 1)}^{5}})$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\log_{4} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x + 1)}^{5}})$

Schritt 4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{5}$ heraus.

$\log_{4} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) {(x + 1)}^{4}})$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{4} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) {(x + 1)}^{4}})$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{4} (\frac{x - 1}{{(x + 1)}^{4}})$

Schritt 5

Schreibe $\log_{4} (\frac{x - 1}{{(x + 1)}^{4}})$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 5.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Schritt 5.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x - 1}{{(x + 1)}^{4}})}{\log (4)}$