Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7}}{\sqrt[3]{3}})$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt[5]{7}}{\sqrt[3]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Schritt 2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt[5]{7}}{\sqrt[3]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Schritt 2.2

Potenziere $\sqrt[3]{3}$ mit $1$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}})$

Schritt 2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}})$

Schritt 2.5

Schreibe ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ als $3$ um.

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Schritt 2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Schritt 2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}})$

Schritt 2.5.5

Berechne den Exponenten.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3})$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ als $\sqrt[3]{3^{2}}$ um.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} \sqrt[3]{3^{2}}}{3})$

Schritt 3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} \sqrt[3]{9}}{3})$

Schritt 3.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $15$ .

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Schritt 3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{9}$ als $9^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\log_{5} (\frac{4 (9^{\frac{1}{3}} \sqrt[5]{7})}{3})$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $9^{\frac{1}{3}}$ als $9^{\frac{5}{15}}$ um.

$\log_{5} (\frac{4 (9^{\frac{5}{15}} \sqrt[5]{7})}{3})$

Schritt 3.3.1.3

Schreibe $9^{\frac{5}{15}}$ als $\sqrt[15]{9^{5}}$ um.

$\log_{5} (\frac{4 (\sqrt[15]{9^{5}} \sqrt[5]{7})}{3})$

Schritt 3.3.1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{7}$ als $7^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\log_{5} (\frac{4 (\sqrt[15]{9^{5}} \cdot 7^{\frac{1}{5}})}{3})$

Schritt 3.3.1.5

Schreibe $7^{\frac{1}{5}}$ als $7^{\frac{3}{15}}$ um.

$\log_{5} (\frac{4 (\sqrt[15]{9^{5}} \cdot 7^{\frac{3}{15}})}{3})$

Schritt 3.3.1.6

Schreibe $7^{\frac{3}{15}}$ als $\sqrt[15]{7^{3}}$ um.

$\log_{5} (\frac{4 (\sqrt[15]{9^{5}} \sqrt[15]{7^{3}})}{3})$

Schritt 3.3.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[15]{9^{5} \cdot 7^{3}}}{3})$

Schritt 3.3.3

Potenziere $9$ mit $5$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[15]{59049 \cdot 7^{3}}}{3})$

Schritt 3.3.4

Potenziere $7$ mit $3$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[15]{59049 \cdot 343}}{3})$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $59049$ mit $343$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[15]{20253807}}{3})$

Schritt 4

Schreibe $\log_{5} (\frac{4 \sqrt[15]{20253807}}{3})$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 4.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Schritt 4.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{4 \sqrt[15]{20253807}}{3})}{\log (5)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\log (\frac{4 \sqrt[15]{20253807}}{3})}{\log (5)}$

Dezimalform:

$0.87563010 \dots$