Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (4 - \log_{5} (a + \log_{5} (b)))$

Schritt 1

Schreibe $\log_{5} (4 - \log_{5} (a + \log_{5} (b)))$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 1.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Schritt 1.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (4 - \log_{5} (a + \log_{5} (b)))}{\log (5)}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\log_{5} (a + \log_{5} (b))$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 2.1.1.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\frac{\log (4 - \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}{\log (5)}$

Schritt 2.1.1.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (4 - \frac{\log (a + \log_{5} (b))}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\log_{5} (b)$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 2.1.2.1.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\frac{\log (4 - \frac{\log (a + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 2.1.2.1.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (4 - \frac{\log (a + \frac{\log (b)}{\log (5)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 2.1.2.2

Um $a$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\log (5)}{\log (5)}$ .

$\frac{\log (4 - \frac{\log (\frac{a \log (5)}{\log (5)} + \frac{\log (b)}{\log (5)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\log (4 - \frac{\log (\frac{a \log (5) + \log (b)}{\log (5)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 2.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\log (5)}{\log (5)}$ .

$\frac{\log (\frac{4 \log (5)}{\log (5)} - \frac{\log (\frac{a \log (5) + \log (b)}{\log (5)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\log (\frac{4 \log (5) - \log (\frac{a \log (5) + \log (b)}{\log (5)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $4 \log (5)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\log (\frac{\log (5^{4}) - \log (\frac{a \log (5) + \log (b)}{\log (5)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 2.4.2

Potenziere $5$ mit $4$ .

$\frac{\log (\frac{\log (625) - \log (\frac{a \log (5) + \log (b)}{\log (5)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 2.4.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\log (\frac{\log (\frac{625}{\frac{a \log (5) + \log (b)}{\log (5)}})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 2.4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\log (\frac{\log (625 \frac{\log (5)}{a \log (5) + \log (b)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 2.4.5

Kombiniere $625$ und $\frac{\log (5)}{a \log (5) + \log (b)}$ .

$\frac{\log (\frac{\log (\frac{625 \log (5)}{a \log (5) + \log (b)})}{\log (5)})}{\log (5)}$