Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (x - 3) + \log_{5} (\log_{5} (10))$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 3) \log_{5} (10))$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - 3 \log_{5} (10))$

Schritt 3

Vereinfache $- 3 \log_{5} (10)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (10^{3}))$

Schritt 4

Potenziere $10$ mit $3$ .

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))$

Schritt 5

Schreibe $\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 5.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Schritt 5.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Schreibe $\log_{5} (10)$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 6.1.1.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\frac{\log (x \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Schritt 6.1.1.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (x \frac{\log (10)}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Schritt 6.1.2

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$\frac{\log (x \frac{1}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Schritt 6.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{\log (5)}$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $\log_{5} (1000)$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 6.1.4.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}{\log (5)}$

Schritt 6.1.4.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{\log (1000)}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 6.1.5

Die logarithmische Basis $10$ von $1000$ ist $3$ .

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Schritt 6.1.5.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{\log (1000) = x}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 6.1.5.2

Schreibe $\log (1000) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{10^{x} = 1000}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 6.1.5.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{10^{x} = 10^{3}}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 6.1.5.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{x = 3}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 6.1.5.5

Die Variable $x$ ist gleich $3$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{3}{\log (5)})}{\log (5)}$

Schritt 6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\log (\frac{x - 3}{\log (5)})}{\log (5)}$