Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (\sqrt[4]{\frac{1}{25}})$

Schritt 1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\log_{5} (\sqrt[4]{\frac{1^{2}}{25}})$

Schritt 2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\log_{5} (\sqrt[4]{\frac{1^{2}}{5^{2}}})$

Schritt 3

Schreibe $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ als ${(\frac{1}{5})}^{2}$ um.

$\log_{5} (\sqrt[4]{{(\frac{1}{5})}^{2}})$

Schritt 4

Schreibe $\sqrt[4]{{(\frac{1}{5})}^{2}}$ als $\sqrt{\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2}}}$ um.

$\log_{5} (\sqrt{\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2}}})$

Schritt 5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\log_{5} (\sqrt{\frac{1}{5}})$

Schritt 6

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{5}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ um.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Schritt 9.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Schritt 9.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Schritt 9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Schritt 9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Schritt 9.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Schritt 9.6.5

Berechne den Exponenten.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5})$

Schritt 10

Schreibe $\frac{\sqrt{5}}{5}$ als $\sqrt{5} \cdot 5^{- 1}$ um.

$\log_{5} (\sqrt{5} \cdot 5^{- 1})$

Schritt 11

Schreibe $\log_{5} (\sqrt{5} \cdot 5^{- 1})$ als $\log_{5} (\sqrt{5}) + \log_{5} (5^{- 1})$ um.

$\log_{5} (\sqrt{5}) + \log_{5} (5^{- 1})$

Schritt 12

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\log_{5} (\sqrt{5}) - \log_{5} (5)$

Schritt 13

Die logarithmische Basis $5$ von $5$ ist $1$ .

$\log_{5} (\sqrt{5}) - 1 \cdot 1$

Schritt 14

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\log_{5} (\sqrt{5}) - 1$

Schritt 15

Schreibe $\log_{5} (\sqrt{5})$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 15.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Schritt 15.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt{5})}{\log (5)} - 1$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\log (\sqrt{5})}{\log (5)} - 1$

Dezimalform:

$- 0.5$