Elementarmathematik Beispiele

$\log_{2} (2 \sqrt{8} \cdot (\sqrt[3]{\frac{1}{4}}))$

Schritt 1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\log_{2} (2 \sqrt{4 (2)} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Schritt 1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\log_{2} (2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Schritt 2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\log_{2} (2 (2 \sqrt{2}) \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Schritt 3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Schritt 4

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ um.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}})$

Schritt 5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{4}})$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}))$

Schritt 7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Schritt 7.2

Potenziere $\sqrt[3]{4}$ mit $1$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Schritt 7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}})$

Schritt 7.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}})$

Schritt 7.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ als $4$ um.

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Schritt 7.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Schritt 7.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Schritt 7.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 7.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}})$

Schritt 7.5.5

Berechne den Exponenten.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4^{2}}$ um.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4})$

Schritt 8.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{16}}{4})$

Schritt 8.3

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4})$

Schritt 8.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4})$

Schritt 8.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$\log_{2} (4 (\sqrt{2}) \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

Schritt 9.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (\sqrt{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2}))$

Schritt 10

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $6$ .

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Schritt 10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\log_{2} (2 (2^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2}))$

Schritt 10.2

Schreibe $2^{\frac{1}{2}}$ als $2^{\frac{3}{6}}$ um.

$\log_{2} (2 (2^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{2}))$

Schritt 10.3

Schreibe $2^{\frac{3}{6}}$ als $\sqrt[6]{2^{3}}$ um.

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \sqrt[3]{2}))$

Schritt 10.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 10.5

Schreibe $2^{\frac{1}{3}}$ als $2^{\frac{2}{6}}$ um.

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \cdot 2^{\frac{2}{6}}))$

Schritt 10.6

Schreibe $2^{\frac{2}{6}}$ als $\sqrt[6]{2^{2}}$ um.

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \sqrt[6]{2^{2}}))$

Schritt 11

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{3} \cdot 2^{2}})$

Schritt 12

Multipliziere $2^{3}$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{3 + 2}})$

Schritt 12.2

Addiere $3$ und $2$ .

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{5}})$

Schritt 13

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{32})$

Schritt 14

Schreibe $\log_{2} (2 \sqrt[6]{32})$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 14.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Schritt 14.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (2 \sqrt[6]{32})}{\log (2)}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\log (2 \sqrt[6]{32})}{\log (2)}$

Dezimalform:

$1.8\overline{3}$