Elementarmathematik Beispiele

$\log_{2} (160 - \log_{2} (5))$

Schritt 1

Schreibe $\log_{2} (160 - \log_{2} (5))$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 1.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Schritt 1.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (160 - \log_{2} (5))}{\log (2)}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $\log_{2} (5)$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 2.1.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\frac{\log (160 - \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}{\log (2)}$

Schritt 2.1.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (160 - \frac{\log (5)}{\log (2)})}{\log (2)}$

Schritt 2.2

Um $160$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\log (\frac{160 \log (2)}{\log (2)} - \frac{\log (5)}{\log (2)})}{\log (2)}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\log (\frac{160 \log (2) - \log (5)}{\log (2)})}{\log (2)}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $160 \log (2)$ , indem du $160$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\log (\frac{\log (2^{160}) - \log (5)}{\log (2)})}{\log (2)}$

Schritt 2.4.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\log (\frac{\log (\frac{2^{160}}{5})}{\log (2)})}{\log (2)}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\log (\frac{\log (\frac{2^{160}}{5})}{\log (2)})}{\log (2)}$

Dezimalform:

$7.30083823 \dots$