Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt[3]{x} = 2 \sqrt[4]{x}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(2 \sqrt[4]{x})}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 \sqrt[4]{x})}^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[4]{x})}^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[4]{x})}^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(2 \sqrt[4]{x})}^{3}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x = {(2 \sqrt[4]{x})}^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(2 \sqrt[4]{x})}^{3}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[4]{x}$ an.

$x = 2^{3} {\sqrt[4]{x}}^{3}$

Schritt 2.3.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x = 8 {\sqrt[4]{x}}^{3}$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe ${\sqrt[4]{x}}^{3}$ als $\sqrt[4]{x^{3}}$ um.

$x = 8 \sqrt[4]{x^{3}}$

Schritt 3

Schreibe die Gleichung als $8 \sqrt[4]{x^{3}} = x$ um.

$8 \sqrt[4]{x^{3}} = x$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${(8 \sqrt[4]{x^{3}})}^{4} = x^{4}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

${(8 x^{\frac{3}{4}})}^{4} = x^{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(8 x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $8 x^{\frac{3}{4}}$ an.

$8^{4} {(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = x^{4}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $8$ mit $4$ .

$4096 {(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = x^{4}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4096 x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4096 x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Schritt 5.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4096 x^{3} = x^{4}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4096 x^{3} - x^{4} = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $4096 x^{3} - x^{4}$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $4096 x^{3}$ heraus.

$x^{3} \cdot 4096 - x^{4} = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- x^{4}$ heraus.

$x^{3} \cdot 4096 + x^{3} (- x) = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} \cdot 4096 + x^{3} (- x)$ heraus.

$x^{3} (4096 - x) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$4096 - x = 0$

Schritt 6.4

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 6.5

Setze $4096 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $4096 - x$ gleich $0$ .

$4096 - x = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $4096 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Subtrahiere $4096$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4096$

Schritt 6.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4096$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4096$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4096}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4096}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4096}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.2.3.1

Dividiere $- 4096$ durch $- 1$ .

$x = 4096$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{3} (4096 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4096$