Elementarmathematik Beispiele

$\log_{2} (\frac{16 x^{3}}{\sqrt[3]{32 y}})$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $32 y$ als $2^{3} \cdot (4 y)$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $8$ aus $32$ heraus.

$\log_{2} (\frac{16 x^{3}}{\sqrt[3]{8 (4) y}})$

Schritt 1.1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\log_{2} (\frac{16 x^{3}}{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4 y}})$

Schritt 1.1.3

Füge Klammern hinzu.

$\log_{2} (\frac{16 x^{3}}{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (4 y)}})$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\log_{2} (\frac{16 x^{3}}{2 \sqrt[3]{4 y}})$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $16 x^{3}$ heraus.

$\log_{2} (\frac{2 (8 x^{3})}{2 \sqrt[3]{4 y}})$

Schritt 2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{4 y}$ heraus.

$\log_{2} (\frac{2 (8 x^{3})}{2 (\sqrt[3]{4 y})})$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (\frac{2 (8 x^{3})}{2 \sqrt[3]{4 y}})$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3}}{\sqrt[3]{4 y}})$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{8 x^{3}}{\sqrt[3]{4 y}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3}}{\sqrt[3]{4 y}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}})$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $\frac{8 x^{3}}{\sqrt[3]{4 y}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{\sqrt[3]{4 y} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $\sqrt[3]{4 y}$ mit $1$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{1} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}})$

Schritt 4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{1 + 2}})$

Schritt 4.1.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{3}})$

Schritt 4.1.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4 y}}^{3}$ als $4 y$ um.

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Schritt 4.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 y}$ als ${(4 y)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{({(4 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Schritt 4.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{(4 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Schritt 4.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{(4 y)}^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{(4 y)}^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 4.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{(4 y)}^{1}})$

Schritt 4.1.5.5

Vereinfache.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{4 y})$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}$ heraus.

$\log_{2} (\frac{4 (2 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2})}{4 y})$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y$ heraus.

$\log_{2} (\frac{4 (2 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2})}{4 (y)})$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (\frac{4 (2 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2})}{4 y})$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{y})$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4 y}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(4 y)}^{2}}$ um.

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{{(4 y)}^{2}}}{y})$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel auf $4 y$ an.

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{4^{2} y^{2}}}{y})$

Schritt 5.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{16 y^{2}}}{y})$

Schritt 5.4

Schreibe $16 y^{2}$ als $2^{3} \cdot (2 y^{2})$ um.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{8 (2) y^{2}}}{y})$

Schritt 5.4.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2 y^{2}}}{y})$

Schritt 5.4.3

Füge Klammern hinzu.

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 y^{2})}}{y})$

Schritt 5.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2 y^{2}}}{y})$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\log_{2} (\frac{4 x^{3} \sqrt[3]{2 y^{2}}}{y})$

Schritt 6

Schreibe $\log_{2} (\frac{4 x^{3} \sqrt[3]{2 y^{2}}}{y})$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 6.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Schritt 6.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{4 x^{3} \sqrt[3]{2 y^{2}}}{y})}{\log (2)}$