Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{2} \cdot (\ln (x + 2) - \ln (x^{2} - 4))$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x + 2}{x^{2} - 4})$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x + 2}{x^{2} - 2^{2}})$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)})$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)})$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{x - 2})$

Schritt 4

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{x - 2})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{1}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x - 2}$ an.

$\ln (\frac{1^{\frac{1}{2}}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\ln (\frac{1}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2}}})$