Elementarmathematik Beispiele

$\log_{b} ({(\sqrt{\frac{x^{9}}{y^{7} z^{9}}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{9}}{y^{7} z^{9}}$ als ${(\frac{x^{4}}{y^{3} z^{4}})}^{2} \frac{x}{y z}$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(x^{4})}^{2}$ aus $x^{9}$ heraus.

$\log_{b} ({\sqrt{\frac{{(x^{4})}^{2} x}{y^{7} z^{9}}}}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(y^{3} z^{4})}^{2}$ aus $y^{7} z^{9}$ heraus.

$\log_{b} ({\sqrt{\frac{{(x^{4})}^{2} x}{{(y^{3} z^{4})}^{2} (y z)}}}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 1.3

Ordne den Bruch $\frac{{(x^{4})}^{2} x}{{(y^{3} z^{4})}^{2} (y z)}$ um.

$\log_{b} ({\sqrt{{(\frac{x^{4}}{y^{3} z^{4}})}^{2} \frac{x}{y z}}}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4}}{y^{3} z^{4}} \sqrt{\frac{x}{y z}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 3

Schreibe $\sqrt{\frac{x}{y z}}$ als $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y z}}$ um.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4}}{y^{3} z^{4}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y z}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 4

Kombinieren.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x}}{y^{3} z^{4} \sqrt{y z}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{x^{4} \sqrt{x}}{y^{3} z^{4} \sqrt{y z}}$ mit $\frac{\sqrt{y z}}{\sqrt{y z}}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x}}{y^{3} z^{4} \sqrt{y z}} \cdot \frac{\sqrt{y z}}{\sqrt{y z}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{x^{4} \sqrt{x}}{y^{3} z^{4} \sqrt{y z}}$ mit $\frac{\sqrt{y z}}{\sqrt{y z}}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} \sqrt{y z} \sqrt{y z}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 6.2

Bewege $\sqrt{y z}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} (\sqrt{y z} \sqrt{y z})})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 6.3

Potenziere $\sqrt{y z}$ mit $1$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} ({\sqrt{y z}}^{1} \sqrt{y z})})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 6.4

Potenziere $\sqrt{y z}$ mit $1$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} ({\sqrt{y z}}^{1} {\sqrt{y z}}^{1})})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} {\sqrt{y z}}^{1 + 1}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} {\sqrt{y z}}^{2}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 6.7

Schreibe ${\sqrt{y z}}^{2}$ als $y z$ um.

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Schritt 6.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y z}$ als ${(y z)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} {({(y z)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 6.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} {(y z)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 6.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} {(y z)}^{\frac{2}{2}}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 6.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} {(y z)}^{\frac{2}{2}}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 6.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} {(y z)}^{1}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 6.7.5

Vereinfache.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} (y z)})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 7

Multipliziere $y^{3}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Bewege $y$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y \cdot y^{3} z^{4} z})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{3}$ .

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Schritt 7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{1} y^{3} z^{4} z})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{1 + 3} z^{4} z})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 7.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{4} z^{4} z})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 8

Multipliziere $z^{4}$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1

Bewege $z$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{4} (z \cdot z^{4})})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $z$ mit $z^{4}$ .

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Schritt 8.2.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{4} (z^{1} z^{4})})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{4} z^{1 + 4}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 8.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{4} z^{5}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{y z x}}{y^{4} z^{5}})}^{\frac{1}{7}})$

Schritt 10

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 10.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{4} \sqrt{y z x}}{y^{4} z^{5}}$ an.

$\log_{b} (\frac{{(x^{4} \sqrt{y z x})}^{\frac{1}{7}}}{{(y^{4} z^{5})}^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 10.2

Wende die Produktregel auf $x^{4} \sqrt{y z x}$ an.

$\log_{b} (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{{(y^{4} z^{5})}^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 10.3

Wende die Produktregel auf $y^{4} z^{5}$ an.

$\log_{b} (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{{(y^{4})}^{\frac{1}{7}} {(z^{5})}^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 11

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 11.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (\frac{x^{4 (\frac{1}{7})} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{{(y^{4})}^{\frac{1}{7}} {(z^{5})}^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 11.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{x^{\frac{4}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{{(y^{4})}^{\frac{1}{7}} {(z^{5})}^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{4})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 12.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (\frac{x^{\frac{4}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{y^{4 (\frac{1}{7})} {(z^{5})}^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{x^{\frac{4}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{y^{\frac{4}{7}} {(z^{5})}^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 12.2

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{5})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 12.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (\frac{x^{\frac{4}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{y^{\frac{4}{7}} z^{5 (\frac{1}{7})}})$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{x^{\frac{4}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{y^{\frac{4}{7}} z^{\frac{5}{7}}})$

Schritt 13

Schreibe $\log_{b} (\frac{x^{\frac{4}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{y^{\frac{4}{7}} z^{\frac{5}{7}}})$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 13.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Schritt 13.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x^{\frac{4}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{y^{\frac{4}{7}} z^{\frac{5}{7}}})}{\log (b)}$