Elementarmathematik Beispiele

$(\log_{4} (12^{3})) (\log_{12} (4^{3}))$

Schritt 1

Potenziere $12$ mit $3$ .

$\log_{4} (1728) \log_{12} (4^{3})$

Schritt 2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\log_{4} (1728) \log_{12} (64)$

Schritt 3

Schreibe $\log_{4} (1728)$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 3.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{12} (64)$

Schritt 3.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (1728)}{\log (4)} \log_{12} (64)$

Schritt 4

Schreibe $\log_{12} (64)$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 4.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\frac{\log (1728)}{\log (4)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Schritt 4.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (1728)}{\log (4)} \cdot \frac{\log (64)}{\log (12)}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{\log (1728)}{\log (4)}$ mit $\frac{\log (64)}{\log (12)}$ .

$\frac{\log (1728) \log (64)}{\log (4) \log (12)}$

Schritt 6

Schreibe $\log (1728)$ als $\log (2^{6} \cdot 3^{3})$ um.

$\frac{\log (2^{6} \cdot 3^{3}) \log (64)}{\log (4) \log (12)}$

Schritt 7

Schreibe $\log (2^{6} \cdot 3^{3})$ als $\log (2^{6}) + \log (3^{3})$ um.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) \log (64)}{\log (4) \log (12)}$

Schritt 8

Schreibe $\log (64)$ als $\log (2^{6})$ um.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) \log (2^{6})}{\log (4) \log (12)}$

Schritt 9

Zerlege $\log (2^{6})$ durch Herausziehen von $6$ aus dem Logarithmus.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{\log (4) \log (12)}$

Schritt 10

Schreibe $\log (4)$ als $\log (2^{2})$ um.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{\log (2^{2}) \log (12)}$

Schritt 11

Zerlege $\log (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{2 \log (2) \log (12)}$

Schritt 12

Schreibe $\log (12)$ als $\log (2^{2} \cdot 3)$ um.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{2 \log (2) \log (2^{2} \cdot 3)}$

Schritt 13

Schreibe $\log (2^{2} \cdot 3)$ als $\log (2^{2}) + \log (3)$ um.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{2 \log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Schritt 14

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 14.1.1

Faktorisiere $2$ aus $(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))$ heraus.

$\frac{2 ((\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2)))}{2 \log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Schritt 14.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))$ heraus.

$\frac{2 ((\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2)))}{2 (\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3)))}$

Schritt 14.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ((\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2)))}{2 (\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3)))}$

Schritt 14.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2))}{\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\log (2)$ .

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2))}{\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Schritt 14.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) \cdot (3)}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Schritt 15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1

Potenziere $2$ mit $6$ .

$\frac{(\log (64) + \log (3^{3})) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Schritt 15.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{(\log (64) + \log (27)) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Schritt 15.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (64 \cdot 27) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Schritt 15.4

Mutltipliziere $64$ mit $27$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Schritt 16

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (4) + \log (3)}$

Schritt 16.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (4 \cdot 3)}$

Schritt 16.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (12)}$

Schritt 17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.1

Stelle $\log (1728)$ und $3$ um.

$\frac{3 \cdot \log (1728)}{\log (12)}$

Schritt 17.2

Vereinfache $3 \cdot \log (1728)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\log (1728^{3})}{\log (12)}$

Schritt 18

Potenziere $1728$ mit $3$ .

$\frac{\log (5159780352)}{\log (12)}$

Schritt 19

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\log (5159780352)}{\log (12)}$

Dezimalform:

$9$