Elementarmathematik Beispiele

$\frac{5 \log_{7} (x + 1)}{3 \log_{7} (x - 2) \log_{7} (x - 1)}$

Schritt 1

Vereinfache $5 \log_{7} (x + 1)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\log_{7} ({(x + 1)}^{5})}{3 \log_{7} (x - 2) \log_{7} (x - 1)}$

Schritt 2

Vereinfache $3 \log_{7} (x - 2)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\log_{7} ({(x + 1)}^{5})}{\log_{7} ({(x - 2)}^{3}) \log_{7} (x - 1)}$

Schritt 3

Schreibe $\log_{7} ({(x + 1)}^{5})$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 3.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\frac{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}{\log_{7} ({(x - 2)}^{3}) \log_{7} (x - 1)}$

Schritt 3.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log ({(x + 1)}^{5})}{\log (7)}}{\log_{7} ({(x - 2)}^{3}) \log_{7} (x - 1)}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $\log_{7} ({(x - 2)}^{3})$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 4.1.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\frac{\frac{\log ({(x + 1)}^{5})}{\log (7)}}{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{7} (x - 1)}$

Schritt 4.1.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log ({(x + 1)}^{5})}{\log (7)}}{\frac{\log ({(x - 2)}^{3})}{\log (7)} \log_{7} (x - 1)}$

Schritt 4.2

Schreibe $\log_{7} (x - 1)$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 4.2.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\frac{\frac{\log ({(x + 1)}^{5})}{\log (7)}}{\frac{\log ({(x - 2)}^{3})}{\log (7)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}$

Schritt 4.2.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log ({(x + 1)}^{5})}{\log (7)}}{\frac{\log ({(x - 2)}^{3})}{\log (7)} \cdot \frac{\log (x - 1)}{\log (7)}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{\log ({(x - 2)}^{3})}{\log (7)}$ mit $\frac{\log (x - 1)}{\log (7)}$ .

$\frac{\frac{\log ({(x + 1)}^{5})}{\log (7)}}{\frac{\log ({(x - 2)}^{3}) \log (x - 1)}{\log (7) \log (7)}}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Potenziere $\log (7)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\log ({(x + 1)}^{5})}{\log (7)}}{\frac{\log ({(x - 2)}^{3}) \log (x - 1)}{\log^{1} (7) \log (7)}}$

Schritt 6.2

Potenziere $\log (7)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\log ({(x + 1)}^{5})}{\log (7)}}{\frac{\log ({(x - 2)}^{3}) \log (x - 1)}{\log^{1} (7) \log^{1} (7)}}$

Schritt 6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{\log ({(x + 1)}^{5})}{\log (7)}}{\frac{\log ({(x - 2)}^{3}) \log (x - 1)}{{\log (7)}^{1 + 1}}}$

Schritt 6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{\log ({(x + 1)}^{5})}{\log (7)}}{\frac{\log ({(x - 2)}^{3}) \log (x - 1)}{\log^{2} (7)}}$

Schritt 7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\log ({(x + 1)}^{5})}{\log (7)} \cdot \frac{\log^{2} (7)}{\log ({(x - 2)}^{3}) \log (x - 1)}$

Schritt 8

Kombinieren.

$\frac{\log ({(x + 1)}^{5}) \log^{2} (7)}{\log (7) (\log ({(x - 2)}^{3}) \log (x - 1))}$

Schritt 9

Zerlege $\log ({(x + 1)}^{5})$ durch Herausziehen von $5$ aus dem Logarithmus.

$\frac{5 \log (x + 1) \log^{2} (7)}{\log (7) (\log ({(x - 2)}^{3}) \log (x - 1))}$

Schritt 10

Zerlege $\log ({(x - 2)}^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$\frac{5 \log (x + 1) \log^{2} (7)}{\log (7) (3 \log (x - 2) \log (x - 1))}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\log^{2} (7)$ und $\log (7)$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $\log (7)$ aus $5 \log (x + 1) \log^{2} (7)$ heraus.

$\frac{\log (7) (5 \log (x + 1) \log (7))}{\log (7) (3 \log (x - 2) \log (x - 1))}$

Schritt 11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\log (7) (5 \log (x + 1) \log (7))}{\log (7) (3 \log (x - 2) \log (x - 1))}$

Schritt 11.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \log (x + 1) \log (7)}{3 \log (x - 2) \log (x - 1)}$

Schritt 12

Vereinfache $5 \log (x + 1)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\log ({(x + 1)}^{5}) \log (7)}{3 \log (x - 2) \log (x - 1)}$

Schritt 13

Vereinfache $3 \log (x - 2)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\log ({(x + 1)}^{5}) \log (7)}{\log ({(x - 2)}^{3}) \log (x - 1)}$