Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4}) + \log_{3} (\frac{4}{5}) + \log_{3} (\frac{5}{6}) + \log_{3} (\frac{6}{7}) + \log_{3} (\frac{7}{8}) + \log_{3} (\frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}) + \log_{3} (\frac{5}{6}) + \log_{3} (\frac{6}{7}) + \log_{3} (\frac{7}{8}) + \log_{3} (\frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \frac{5}{6}) + \log_{3} (\frac{6}{7}) + \log_{3} (\frac{7}{8}) + \log_{3} (\frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \frac{5}{6} \frac{6}{7}) + \log_{3} (\frac{7}{8}) + \log_{3} (\frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.4

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \frac{5}{6} \frac{6}{7} \frac{7}{8}) + \log_{3} (\frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.5

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \frac{5}{6} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\log_{3} (3 (\frac{1}{5}) \frac{5}{6} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.7

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.8.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3 (2)} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3 \cdot 2} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (3)}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{7} \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{8} \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\log_{3} (3 (\frac{1}{8}) \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.12

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{9})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.13.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3 (3)})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\log_{3} (\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3 \cdot 3})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{3})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{3})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.14.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\log_{3} (\frac{1}{3})}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 1.15

Die logarithmische Basis $3$ von $\frac{1}{3}$ ist $- 1$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (\frac{9}{10})}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{9}{10}$ als $9 \cdot 10^{- 1}$ um.

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (9 \cdot 10^{- 1})}$

Schritt 2.2

Schreibe $\log (9 \cdot 10^{- 1})$ als $\log (9) + \log (10^{- 1})$ um.

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (9) + \log (10^{- 1})}$

Schritt 2.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (9) - \log (10)}$

Schritt 2.4

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (9) - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (9) - 1}$

Schritt 2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1

Schreibe $\log (9)$ als $\log (3^{2})$ um.

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + \log (3^{2}) - 1}$

Schritt 2.6.2

Zerlege $\log (3^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5}) + \log (\frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Schritt 2.7

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}) + \log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Schritt 2.8

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Schritt 2.9

Schreibe $\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.9.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{5}{6} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Schritt 2.9.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{5}{2 \cdot 3} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Schritt 2.9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{5}{2 \cdot 3} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Schritt 2.9.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Schritt 2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Schritt 2.9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (2 (\frac{1}{3}) \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Schritt 2.9.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2}{3} \cdot \frac{8}{9}) + 2 \log (3) - 1}$

Schritt 2.9.4

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot \frac{8}{9}$ .

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Schritt 2.9.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{8}{9}$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 9}) + 2 \log (3) - 1}$

Schritt 2.9.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{3 \cdot 9}) + 2 \log (3) - 1}$

Schritt 2.9.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{27}) + 2 \log (3) - 1}$

Schritt 2.9.5

Vereinfache $2 \log (3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{27}) + \log (3^{2}) - 1}$

Schritt 2.9.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{27}) + \log (9) - 1}$

Schritt 2.9.7

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{27} \cdot 9) - 1}$

Schritt 2.9.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.9.8.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{9 (3)} \cdot 9) - 1}$

Schritt 2.9.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{9 \cdot 3} \cdot 9) - 1}$

Schritt 2.9.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{3}) - 1}$

Schritt 3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{3}) - 1}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{\log (\frac{6}{7}) \log (\frac{7}{8}) + \log (\frac{16}{3}) - 1}$

Dezimalform:

$3.71582973 \dots$