Elementarmathematik Beispiele

$\ln ({(\frac{x + 7}{{(x^{2} - 49)}^{5}})}^{\frac{3}{5}})$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\ln ({(\frac{x + 7}{{(x^{2} - 7^{2})}^{5}})}^{\frac{3}{5}})$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$\ln ({(\frac{x + 7}{{((x + 7) (x - 7))}^{5}})}^{\frac{3}{5}})$

Schritt 1.3

Wende die Produktregel auf $(x + 7) (x - 7)$ an.

$\ln ({(\frac{x + 7}{{(x + 7)}^{5} {(x - 7)}^{5}})}^{\frac{3}{5}})$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 7$ und ${(x + 7)}^{5}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\ln ({(\frac{(x + 7) \cdot 1}{{(x + 7)}^{5} {(x - 7)}^{5}})}^{\frac{3}{5}})$

Schritt 2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x + 7$ aus ${(x + 7)}^{5} {(x - 7)}^{5}$ heraus.

$\ln ({(\frac{(x + 7) \cdot 1}{(x + 7) ({(x + 7)}^{4} {(x - 7)}^{5})})}^{\frac{3}{5}})$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln ({(\frac{(x + 7) \cdot 1}{(x + 7) ({(x + 7)}^{4} {(x - 7)}^{5})})}^{\frac{3}{5}})$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln ({(\frac{1}{{(x + 7)}^{4} {(x - 7)}^{5}})}^{\frac{3}{5}})$

Schritt 3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{{(x + 7)}^{4} {(x - 7)}^{5}}$ an.

$\ln (\frac{1^{\frac{3}{5}}}{{({(x + 7)}^{4} {(x - 7)}^{5})}^{\frac{3}{5}}})$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf ${(x + 7)}^{4} {(x - 7)}^{5}$ an.

$\ln (\frac{1^{\frac{3}{5}}}{{({(x + 7)}^{4})}^{\frac{3}{5}} {({(x - 7)}^{5})}^{\frac{3}{5}}})$

Schritt 4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\ln (\frac{1}{{({(x + 7)}^{4})}^{\frac{3}{5}} {({(x - 7)}^{5})}^{\frac{3}{5}}})$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 7)}^{4})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 7)}^{4 (\frac{3}{5})} {({(x - 7)}^{5})}^{\frac{3}{5}}})$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $4 (\frac{3}{5})$ .

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Schritt 5.1.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{5}$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{4 \cdot 3}{5}} {({(x - 7)}^{5})}^{\frac{3}{5}}})$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{12}{5}} {({(x - 7)}^{5})}^{\frac{3}{5}}})$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 7)}^{5})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{12}{5}} {(x - 7)}^{5 (\frac{3}{5})}})$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{12}{5}} {(x - 7)}^{5 (\frac{3}{5})}})$

Schritt 5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{12}{5}} {(x - 7)}^{3}})$