Elementarmathematik Beispiele

$(\sqrt{2}, - \frac{3 π}{4})$

Schritt 1

Benutze die Umrechnungsformeln, um von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umzurechnen.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte von $r = \sqrt{2}$ und $θ = - \frac{3 π}{4}$ in die Formeln ein.

$x = (\sqrt{2}) \cos (- \frac{3 π}{4})$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 3

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$x = \sqrt{2} \cos (\frac{5 π}{4})$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$x = \sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 6

Multipliziere $\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 6.1

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 6.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 6.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

$x = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

$x = - \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 7.5

Berechne den Exponenten.

$x = - \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

$x = - \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - 1 \cdot 1$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

$x = - 1 \cdot 1$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = - 1$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Schritt 10

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$x = - 1$

$y = \sqrt{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 11

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$x = - 1$

$y = \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 12

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1$

$y = \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 13

Multipliziere $\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 13.1

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1$

$y = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 13.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = - 1$

$y = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 13.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = - 1$

$y = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 13.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = - 1$

$y = - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Schritt 13.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = - 1$

$y = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$x = - 1$

$y = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Schritt 14

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = - 1$

$y = - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Schritt 14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 1$

$y = - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Schritt 14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = - 1$

$y = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 1$

$y = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 14.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - 1$

$y = - \frac{2}{2}$

$x = - 1$

$y = - \frac{2}{2}$

Schritt 14.5

Berechne den Exponenten.

$x = - 1$

$y = - \frac{2}{2}$

$x = - 1$

$y = - \frac{2}{2}$

Schritt 15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 1$

$y = - \frac{2}{2}$

Schritt 15.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - 1$

$y = - 1 \cdot 1$

$x = - 1$

$y = - 1 \cdot 1$

Schritt 16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = - 1$

$y = - 1$

Schritt 17

Die kartesische Darstellung des Punktes mit den Polarkoordinaten $(\sqrt{2}, - \frac{3 π}{4})$ ist $(- 1, - 1)$ .

$(- 1, - 1)$