Elementarmathematik Beispiele

$(4, \frac{π}{12})$

Schritt 1

Benutze die Umrechnungsformeln, um von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umzurechnen.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte von $r = 4$ und $θ = \frac{π}{12}$ in die Formeln ein.

$x = (4) \cos (\frac{π}{12})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 3.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$x = 4 \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$x = 4 (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 3.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = 4 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3.7.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 3.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 5.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Schritt 5.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 5.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 5.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 5.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 5.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 5.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 5.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 5.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 5.7.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 5.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 5.7.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 5.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Schritt 5.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Schritt 7

Die kartesische Darstellung des Punktes mit den Polarkoordinaten $(4, \frac{π}{12})$ ist $(\sqrt{6} + \sqrt{2}, \sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$(\sqrt{6} + \sqrt{2}, \sqrt{6} - \sqrt{2})$