Elementarmathematik Beispiele

$(5, \frac{5 π}{12})$

Schritt 1

Benutze die Umrechnungsformeln, um von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umzurechnen.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte von $r = 5$ und $θ = \frac{5 π}{12}$ in die Formeln ein.

$x = (5) \cos (\frac{5 π}{12})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 3

Der genau Wert von $\cos (\frac{5 π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 3.1

Teile $\frac{5 π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$x = 5 \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 3.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$x = 5 (\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 3.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 3.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4}))$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 3.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 3.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 3.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = 5 (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 3.7.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 3.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 3.7.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 3.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 3.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

$x = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 4

Kombiniere $5$ und $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = (5) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 5

Der genau Wert von $\sin (\frac{5 π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 5.1

Teile $\frac{5 π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Schritt 5.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 5.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 5.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 5.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 5.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.7

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 5.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 5.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.7.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 5.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 5.7.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 5.7.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

Schritt 5.7.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

Schritt 5.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})$

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = 5 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})$

Schritt 6

Kombiniere $5$ und $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

$x = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

$y = \frac{5 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

Schritt 7

Die kartesische Darstellung des Punktes mit den Polarkoordinaten $(5, \frac{5 π}{12})$ ist $(\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}, \frac{5 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})$ .

$(\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}, \frac{5 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})$