Elementarmathematik Beispiele

$4 {(x - \frac{3}{2})}^{2} = 16 - 16 (y + \frac{1}{2})$

Schritt 1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $16 - 16 (y + \frac{1}{2}) = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$ um.

$16 - 16 (y + \frac{1}{2}) = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache $16 - 16 (y + \frac{1}{2})$ .

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 - 16 y - 16 (\frac{1}{2}) = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 16$ heraus.

$16 - 16 y + 2 (- 8) \frac{1}{2} = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 - 16 y + 2 \cdot - 8 \frac{1}{2} = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$16 - 16 y - 8 = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$- 16 y + 8 = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$

Schritt 1.3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 16 y = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - 8$

Schritt 1.4

Teile jeden Ausdruck in $- 16 y = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - 8$ durch $- 16$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 16 y = 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - 8$ durch $- 16$ .

$\frac{- 16 y}{- 16} = \frac{4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}}{- 16} + \frac{- 8}{- 16}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 16$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 16 y}{- 16} = \frac{4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}}{- 16} + \frac{- 8}{- 16}$

Schritt 1.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}}{- 16} + \frac{- 8}{- 16}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 16$ .

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Schritt 1.4.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}}{- 16} + \frac{- 8}{- 16}$

Schritt 1.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$y = \frac{4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}}{4 \cdot - 4} + \frac{- 8}{- 16}$

Schritt 1.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 {(x - \frac{3}{2})}^{2}}{4 \cdot - 4} + \frac{- 8}{- 16}$

Schritt 1.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{{(x - \frac{3}{2})}^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 16}$

Schritt 1.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{{(x - \frac{3}{2})}^{2}}{4} + \frac{- 8}{- 16}$

Schritt 1.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $- 16$ .

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Schritt 1.4.3.1.3.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8$ heraus.

$y = - \frac{{(x - \frac{3}{2})}^{2}}{4} + \frac{- 8 (1)}{- 16}$

Schritt 1.4.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.3.1.3.2.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 16$ heraus.

$y = - \frac{{(x - \frac{3}{2})}^{2}}{4} + \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 2}$

Schritt 1.4.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{{(x - \frac{3}{2})}^{2}}{4} + \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 2}$

Schritt 1.4.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{{(x - \frac{3}{2})}^{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = \frac{3}{2}$

$k = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 5.3.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{3}{2}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$

Brennpunkt: $(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$

Symmetrieachse: $x = \frac{3}{2}$

Leitlinie: $y = \frac{3}{2}$

Schritt 10