Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} - \frac{y + 4}{81} = 1$

Schritt 1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} - \frac{y + 4}{81}$ .

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Schritt 1.1.1

Um $\frac{{(x + 4)}^{2}}{36}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} \cdot \frac{9}{9} - \frac{y + 4}{81} = 1$

Schritt 1.1.2

Um $- \frac{y + 4}{81}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} \cdot \frac{9}{9} - \frac{y + 4}{81} \cdot \frac{4}{4} = 1$

Schritt 1.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $324$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{{(x + 4)}^{2}}{36}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{36 \cdot 9} - \frac{y + 4}{81} \cdot \frac{4}{4} = 1$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $36$ mit $9$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{324} - \frac{y + 4}{81} \cdot \frac{4}{4} = 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{y + 4}{81}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{324} - \frac{(y + 4) \cdot 4}{81 \cdot 4} = 1$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $81$ mit $4$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{324} - \frac{(y + 4) \cdot 4}{324} = 1$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9 - (y + 4) \cdot 4}{324} = 1$

Schritt 1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von ${(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{9 \cdot {(x + 4)}^{2} - (y + 4) \cdot 4}{324} = 1$

Schritt 1.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} + (- y - 1 \cdot 4) \cdot 4}{324} = 1$

Schritt 1.1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} + (- y - 4) \cdot 4}{324} = 1$

Schritt 1.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - y \cdot 4 - 4 \cdot 4}{324} = 1$

Schritt 1.1.5.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 4 \cdot 4}{324} = 1$

Schritt 1.1.5.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16}{324} = 1$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $324$ .

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16}{324} \cdot 324 = 1 \cdot 324$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $324$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16}{324} \cdot 324 = 1 \cdot 324$

Schritt 1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16 = 1 \cdot 324$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $324$ mit $1$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16 = 324$

Schritt 1.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Subtrahiere $9 {(x + 4)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y - 16 = 324 - 9 {(x + 4)}^{2}$

Schritt 1.4.1.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y = 324 - 9 {(x + 4)}^{2} + 16$

Schritt 1.4.1.3

Addiere $324$ und $16$ .

$- 4 y = - 9 {(x + 4)}^{2} + 340$

Schritt 1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = - 9 {(x + 4)}^{2} + 340$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = - 9 {(x + 4)}^{2} + 340$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 9 {(x + 4)}^{2}}{- 4} + \frac{340}{- 4}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 9 {(x + 4)}^{2}}{- 4} + \frac{340}{- 4}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 9 {(x + 4)}^{2}}{- 4} + \frac{340}{- 4}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{9 {(x + 4)}^{2}}{4} + \frac{340}{- 4}$

Schritt 1.4.2.3.1.2

Dividiere $340$ durch $- 4$ .

$y = \frac{9 {(x + 4)}^{2}}{4} - 85$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$y = \frac{9}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} - 85$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{9}{4}$

$h = - 4$

$k = - 85$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 4, - 85)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{9}{4}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{9}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 9}{4}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\frac{1}{\frac{36}{4}}$

Schritt 5.3.2.2

Dividiere $36$ durch $4$ .

$\frac{1}{9}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 4, - \frac{764}{9})$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 4$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{766}{9}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 4, - 85)$

Brennpunkt: $(- 4, - \frac{764}{9})$

Symmetrieachse: $x = - 4$

Leitlinie: $y = - \frac{766}{9}$

Schritt 10