Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} + \frac{y - 4^{2}}{32} = 1$

Schritt 1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} + \frac{y - 4^{2}}{32}$ .

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Schritt 1.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} + \frac{y - 1 \cdot 16}{32} = 1$

Schritt 1.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} + \frac{y - 16}{32} = 1$

Schritt 1.1.2

Um $\frac{{(x + 3)}^{2}}{36}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} \cdot \frac{8}{8} + \frac{y - 16}{32} = 1$

Schritt 1.1.3

Um $\frac{y - 16}{32}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} \cdot \frac{8}{8} + \frac{y - 16}{32} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Schritt 1.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $288$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{{(x + 3)}^{2}}{36}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2} \cdot 8}{36 \cdot 8} + \frac{y - 16}{32} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Schritt 1.1.4.2

Mutltipliziere $36$ mit $8$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2} \cdot 8}{288} + \frac{y - 16}{32} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{y - 16}{32}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2} \cdot 8}{288} + \frac{(y - 16) \cdot 9}{32 \cdot 9} = 1$

Schritt 1.1.4.4

Mutltipliziere $32$ mit $9$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2} \cdot 8}{288} + \frac{(y - 16) \cdot 9}{288} = 1$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x + 3)}^{2} \cdot 8 + (y - 16) \cdot 9}{288} = 1$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{8 \cdot {(x + 3)}^{2} + (y - 16) \cdot 9}{288} = 1$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 {(x + 3)}^{2} + y \cdot 9 - 16 \cdot 9}{288} = 1$

Schritt 1.1.6.3

Bringe $9$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{8 {(x + 3)}^{2} + 9 \cdot y - 16 \cdot 9}{288} = 1$

Schritt 1.1.6.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $9$ .

$\frac{8 {(x + 3)}^{2} + 9 y - 144}{288} = 1$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $288$ .

$\frac{8 {(x + 3)}^{2} + 9 y - 144}{288} \cdot 288 = 1 \cdot 288$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $288$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 {(x + 3)}^{2} + 9 y - 144}{288} \cdot 288 = 1 \cdot 288$

Schritt 1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$8 {(x + 3)}^{2} + 9 y - 144 = 1 \cdot 288$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $288$ mit $1$ .

$8 {(x + 3)}^{2} + 9 y - 144 = 288$

Schritt 1.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Subtrahiere $8 {(x + 3)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 y - 144 = 288 - 8 {(x + 3)}^{2}$

Schritt 1.4.1.2

Addiere $144$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 y = 288 - 8 {(x + 3)}^{2} + 144$

Schritt 1.4.1.3

Addiere $288$ und $144$ .

$9 y = - 8 {(x + 3)}^{2} + 432$

Schritt 1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $9 y = - 8 {(x + 3)}^{2} + 432$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y = - 8 {(x + 3)}^{2} + 432$ durch $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{- 8 {(x + 3)}^{2}}{9} + \frac{432}{9}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 y}{9} = \frac{- 8 {(x + 3)}^{2}}{9} + \frac{432}{9}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 8 {(x + 3)}^{2}}{9} + \frac{432}{9}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{8 {(x + 3)}^{2}}{9} + \frac{432}{9}$

Schritt 1.4.2.3.1.2

Dividiere $432$ durch $9$ .

$y = - \frac{8 {(x + 3)}^{2}}{9} + 48$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$y = - \frac{8}{9} \cdot {(x + 3)}^{2} + 48$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{8}{9}$

$h = - 3$

$k = 48$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 3, 48)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{8}{9})}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{8}{9})}$

Schritt 5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{8}{9})}$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{8}{9}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 8}{9}}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$- \frac{1}{\frac{32}{9}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 (\frac{9}{32}))$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $\frac{9}{32}$ mit $1$ .

$- \frac{9}{32}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 3, \frac{1527}{32})$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 3$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{1545}{32}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- 3, 48)$

Brennpunkt: $(- 3, \frac{1527}{32})$

Symmetrieachse: $x = - 3$

Leitlinie: $y = \frac{1545}{32}$

Schritt 10