Elementarmathematik Beispiele

$u = \cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j$ , $v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Step 1

Vereinfache $\cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot i + \sin (\frac{π}{4}) j$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $i$ .

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \sin (\frac{π}{4}) j$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} j$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $j$ .

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Stelle $\frac{\sqrt{2} i}{2}$ und $\frac{\sqrt{2} j}{2}$ um.

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Step 2

Vereinfache $\cos (\frac{2 π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$v = - \cos (\frac{π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$v = - \frac{1}{2} \cdot i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Kombiniere $i$ und $\frac{1}{2}$ .

$v = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$v = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{π}{3}) j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$v = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} j$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ und $j$ .

$v = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Stelle $- \frac{i}{2}$ und $\frac{\sqrt{3} j}{2}$ um.

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$u = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Step 3

Löse die Gleichung nach $π$ auf.

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Schreibe die Gleichung als $\cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$ um.

$\cos (\frac{π}{4}) i + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Vereinfache die linke Seite.

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Vereinfache jeden Term.

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Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot i + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $i$ .

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \sin (\frac{π}{4}) j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} j = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $j$ .

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} j}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Bringe alle Terme, die $j$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Subtrahiere $\frac{\sqrt{2} j}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sqrt{2} i}{2} + \frac{\sqrt{2} j}{2} - \frac{\sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} i + \sqrt{2} j - \sqrt{2} j}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt{2} i + \sqrt{2} j - \sqrt{2} j$ .

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Subtrahiere $\sqrt{2} j$ von $\sqrt{2} j$ .

$\frac{\sqrt{2} i + 0}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Addiere $\sqrt{2} i$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

$\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Da $\frac{\sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Immer wahr

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Immer wahr

$v = \frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2}$

Step 4

Löse die Gleichung nach $i$ auf.

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Vereinfache jeden Term.

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$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \cos (\frac{π}{3}) i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Immer wahr

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{1}{2} \cdot i + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Immer wahr

Kombiniere $i$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{2 π}{3}) j$

Immer wahr

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \sin (\frac{π}{3}) j$

Immer wahr

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} j$

Immer wahr

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ und $j$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Immer wahr

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} = - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Immer wahr

Bringe alle Terme, die $i$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Addiere $\frac{i}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} + \frac{i}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Immer wahr

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{\sqrt{3} j}{2} - \frac{i}{2} + \frac{i}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Addiere $- \frac{i}{2}$ und $\frac{i}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} + 0 = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Immer wahr

Addiere $\frac{\sqrt{3} j}{2}$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{3} j}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Immer wahr

$\frac{\sqrt{3} j}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Immer wahr

$\frac{\sqrt{3} j}{2} = \frac{\sqrt{3} j}{2}$

Immer wahr

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$\sqrt{3} j = \sqrt{3} j$

Immer wahr

Bringe alle Terme, die $j$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Subtrahiere $\sqrt{3} j$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3} j - \sqrt{3} j = 0$

Immer wahr

Subtrahiere $\sqrt{3} j$ von $\sqrt{3} j$ .

$0 = 0$

Immer wahr

$0 = 0$

Immer wahr

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Immer wahr