Elementarmathematik Beispiele

$7^{x - 6} = 15$ , $e^{0.84 y} = 12$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (7^{x - 6}) = \ln (15)$

Schritt 2

Zerlege $\ln (7^{x - 6})$ durch Herausziehen von $x - 6$ aus dem Logarithmus.

$(x - 6) \ln (7) = \ln (15)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (7) - 6 \ln (7) = \ln (15)$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (7) - 6 \ln (7) - \ln (15) = 0$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $6 \ln (7)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (7) - \ln (15) = 6 \ln (7)$

Schritt 5.2

Addiere $\ln (15)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (7) = 6 \ln (7) + \ln (15)$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (7) = 6 \ln (7) + \ln (15)$ durch $\ln (7)$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (7) = 6 \ln (7) + \ln (15)$ durch $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{6 \ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7)$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{6 \ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6 \ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7)$ .

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{6 \ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

Schritt 6.3.1.2

Dividiere $6$ durch $1$ .

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{0.84 y}) = \ln (12)$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

Schritt 7.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 7.2.1

Zerlege $\ln (e^{0.84 y})$ durch Herausziehen von $0.84 y$ aus dem Logarithmus.

$0.84 y \ln (e) = \ln (12)$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

Schritt 7.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$0.84 y \cdot 1 = \ln (12)$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $0.84$ mit $1$ .

$0.84 y = \ln (12)$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

$0.84 y = \ln (12)$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $0.84 y = \ln (12)$ durch $0.84$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $0.84 y = \ln (12)$ durch $0.84$ .

$\frac{0.84 y}{0.84} = \frac{\ln (12)}{0.84}$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.84$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.84 y}{0.84} = \frac{\ln (12)}{0.84}$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

Schritt 7.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (12)}{0.84}$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

$y = \frac{\ln (12)}{0.84}$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

$y = \frac{\ln (12)}{0.84}$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$y = \frac{\log_{2.71828182} (12)}{0.84}$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

Schritt 7.3.3.2

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $12$ ist ungefähr $2.48490664$ .

$y = \frac{2.48490664}{0.84}$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

Schritt 7.3.3.3

Dividiere $2.48490664$ durch $0.84$ .

$y = 2.9582222$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

$y = 2.9582222$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

$y = 2.9582222$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$

$y = 2.9582222$

$x = 6 + \frac{\ln (15)}{\ln (7)}$