Elementarmathematik Beispiele

$\tan (x) = - \frac{12}{15}$ , $\tan (2 x) = y$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $15$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\tan (x) = - \frac{3 (4)}{15}$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\tan (x) = - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 5}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 5}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = - \frac{4}{5}$

Schritt 2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \frac{4}{5})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Berechne $\arctan (- \frac{4}{5})$ .

$x = - 0.67474094$

Schritt 4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 0.67474094 - (3.14159265)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.67474094 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.67474094 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 5.2

Der resultierende Winkel von $2.46685171$ ist positiv und gleich $- 0.67474094 - (3.14159265)$ .

$x = 2.46685171$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 7

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.1

Addiere $π$ zu $- 0.67474094$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.67474094 + π$

Schritt 7.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$3.14159265 - 0.67474094$

Schritt 7.3

Subtrahiere $0.67474094$ von $3.14159265$ .

$2.46685171$

Schritt 7.4

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 2.46685171$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.46685171 + π n, 2.46685171 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Führe $2.46685171 + π n$ und $2.46685171 + π n$ zu $2.46685171 + π n$ zusammen.

$x = 2.46685171 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $2.46685171 + π n$ in jeder Gleichung.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $x$ in $\tan (2 x) = y$ durch $2.46685171 + π n$ .

$\tan (2 (2.46685171 + π n)) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache $\tan (2 (2.46685171 + π n))$ .

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Schritt 10.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (2 \cdot 2.46685171 + 2 (π n)) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

Schritt 10.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2.46685171$ .

$\tan (4.93370342 + 2 π n) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

$\tan (4.93370342 + 2 π n) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

$\tan (4.93370342 + 2 π n) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

$\tan (4.93370342 + 2 π n) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $π$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $π$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$4.93370342 + 2 π n = \arctan (y)$

$x = 2.46685171 + π n$

Schritt 11.2

Bringe alle Terme, die nicht $`$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $4.93370342$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 π n = \arctan (y) - 4.93370342$

$x = 2.46685171 + π n$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $2 π n$ von beiden Seiten der Gleichung.

$0 = \arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n$

$x = 2.46685171 + π n$

$0 = \arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n$

$x = 2.46685171 + π n$

Schritt 11.3

Schreibe die Gleichung als $\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$ um.

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

$x = 2.46685171 + π n$

Schritt 11.4

Bringe alle Terme, die nicht $`$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 11.4.1

Subtrahiere $4.93370342$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 π n = \arctan (y) - 4.93370342$

$x = 2.46685171 + π n$

Schritt 11.4.2

Subtrahiere $2 π n$ von beiden Seiten der Gleichung.

$0 = \arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n$

$x = 2.46685171 + π n$

$0 = \arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n$

$x = 2.46685171 + π n$

Schritt 11.5

Schreibe die Gleichung als $\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$ um.

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

$x = 2.46685171 + π n$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

$x = 2.46685171 + π n$

Schritt 12

Löse die Gleichung nach $n$ auf.

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Schritt 12.1

Schreibe die Gleichung als $2.46685171 + 0 \cdot n = x$ um.

$2.46685171 + 0 \cdot n = x$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

Schritt 12.2

Vereinfache $2.46685171 + 0 \cdot n$ .

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $n$ .

$2.46685171 + 0 = x$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

Schritt 12.2.2

Addiere $2.46685171$ und $0$ .

$2.46685171 = x$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

$2.46685171 = x$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

Schritt 12.3

Schreibe die $2.46685171 = x$ so um, dass $x$ auf der linken Seite steht.

$x = 2.46685171$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

Schritt 12.4

Die Variable $n$ wurde abgebrochen.

Alle reellen Zahlen

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

Alle reellen Zahlen

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

Schritt 13

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 13.1

Schreibe die Gleichung als $y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a n l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)))$ um.

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a n l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)))$

Schritt 13.2

Vereinfache $\tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a n l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)))$ .

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Schritt 13.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1.1

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.1.1.1

Bewege $a$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t (a \cdot a) n l \cdot l (r e l) (n u m b e r s)))$

Schritt 13.2.1.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n l \cdot l (r e l) (n u m b e r s)))$

Schritt 13.2.1.2

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.1.2.1

Bewege $n$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} (n \cdot n) l \cdot l (r e l) (u m b e r s)))$

Schritt 13.2.1.2.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l \cdot l (r e l) (u m b e r s)))$

Schritt 13.2.1.3

Multipliziere $l$ mit $l$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.1.3.1

Bewege $l$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} (l \cdot l) (r e l) (u m b e r s)))$

Schritt 13.2.1.3.2

Mutltipliziere $l$ mit $l$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l^{2} (r e l) (u m b e r s)))$

Schritt 13.2.1.4

Multipliziere $l^{2}$ mit $l$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.1.4.1

Bewege $l$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} (l \cdot l^{2}) (r e) (u m b e r s)))$

Schritt 13.2.1.4.2

Mutltipliziere $l$ mit $l^{2}$ .

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Schritt 13.2.1.4.2.1

Potenziere $l$ mit $1$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} (l^{1} l^{2}) (r e) (u m b e r s)))$

Schritt 13.2.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l^{1 + 2} (r e) (u m b e r s)))$

Schritt 13.2.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} (r e) (u m b e r s)))$

Schritt 13.2.1.5

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.1.5.1

Bewege $r$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} (r \cdot r e) (u m b e s)))$

Schritt 13.2.1.5.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} (r^{2} e) (u m b e s)))$

Schritt 13.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} (r^{2} e) (u m b e s)))$

Schritt 13.2.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (e t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b e s)))$

Schritt 13.2.1.8

Multipliziere $e t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b e s)$ .

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Schritt 13.2.1.8.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b (e^{1} e) s)))$

Schritt 13.2.1.8.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b (e^{1} e^{1}) s)))$

Schritt 13.2.1.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b e^{1 + 1} s)))$

Schritt 13.2.1.8.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b e^{2} s)))$

Schritt 13.2.1.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (e^{2} t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} u m b s))$

Schritt 13.2.1.10

Multipliziere $0 (e^{2} t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} u m b s)$ .

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Schritt 13.2.1.10.1

Mutltipliziere $e^{2}$ mit $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} u m b s))$

Schritt 13.2.1.10.2

Mutltipliziere $t$ mit $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} u m b s))$

Schritt 13.2.1.10.3

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (n^{2} l^{3} r^{2} u m b s))$

Schritt 13.2.1.10.4

Mutltipliziere $n^{2}$ mit $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (l^{3} r^{2} u m b s))$

Schritt 13.2.1.10.5

Mutltipliziere $l^{3}$ mit $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (r^{2} u m b s))$

Schritt 13.2.1.10.6

Mutltipliziere $r^{2}$ mit $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (u m b s))$

Schritt 13.2.1.10.7

Mutltipliziere $u$ mit $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (m b s))$

Schritt 13.2.1.10.8

Mutltipliziere $m$ mit $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (b s))$

Schritt 13.2.1.10.9

Mutltipliziere $b$ mit $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 s)$

Schritt 13.2.1.10.10

Mutltipliziere $0$ mit $s$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0)$

Schritt 13.2.2

Addiere $4.93370342$ und $0$ .

$y = \tan (4.93370342)$