Elementarmathematik Beispiele

$3 x + 4 y - z = 0$ , $x - 2 y + z = - 8$

Schritt 1

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y - z = - 3 x$

$x - 2 y + z = - 8$

Schritt 1.1.2

Addiere $z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = - 3 x + z$

$x - 2 y + z = - 8$

$4 y = - 3 x + z$

$x - 2 y + z = - 8$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - 3 x + z$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - 3 x + z$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$x - 2 y + z = - 8$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$x - 2 y + z = - 8$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$x - 2 y + z = - 8$

$y = \frac{- 3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$x - 2 y + z = - 8$

$y = \frac{- 3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$x - 2 y + z = - 8$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$x - 2 y + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$x - 2 y + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$x - 2 y + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$x - 2 y + z = - 8$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $x - 2 (- \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}) + z$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 2 (- \frac{3 x}{4}) - 2 \frac{z}{4} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x}{4}$ in den Zähler.

$x - 2 \frac{- 3 x}{4} - 2 \frac{z}{4} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x + 2 (- 1) (\frac{- 3 x}{4}) - 2 \frac{z}{4} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x + 2 \cdot (- 1 \frac{- 3 x}{2 \cdot 2}) - 2 \frac{z}{4} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 2 \cdot (- 1 \frac{- 3 x}{2 \cdot 2}) - 2 \frac{z}{4} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$x - 1 \frac{- 3 x}{2} - 2 \frac{z}{4} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$x - 1 \frac{- 3 x}{2} - 2 \frac{z}{4} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x - 1 \frac{- 3 x}{2} + 2 (- 1) (\frac{z}{4}) + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x - 1 \frac{- 3 x}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{z}{2 \cdot 2}) + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 1 \frac{- 3 x}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{z}{2 \cdot 2}) + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$x - 1 \frac{- 3 x}{2} - 1 \frac{z}{2} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$x - 1 \frac{- 3 x}{2} - 1 \frac{z}{2} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x - 1 (- \frac{3 x}{2}) - 1 \frac{z}{2} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2

Multipliziere $- 1 (- \frac{3 x}{2})$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x + 1 (\frac{3 x}{2}) - 1 \frac{z}{2} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{3 x}{2}$ mit $1$ .

$x + \frac{3 x}{2} - 1 \frac{z}{2} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$x + \frac{3 x}{2} - 1 \frac{z}{2} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.1.4.3

Schreibe $- 1 \frac{z}{2}$ als $- \frac{z}{2}$ um.

$x + \frac{3 x}{2} - \frac{z}{2} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$x + \frac{3 x}{2} - \frac{z}{2} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$x + \frac{3 x}{2} - \frac{z}{2} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.2

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{z}{2} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{z}{2} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot 2 + 3 x}{2} - \frac{z}{2} + z = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$z + \frac{x \cdot 2 + 3 x - z}{2} = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$z + \frac{x \cdot 2 + 3 x - z}{2} = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$z + \frac{2 x + 3 x - z}{2} = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.5

Addiere $2 x$ und $3 x$ .

$z + \frac{5 x - z}{2} = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.6

Um $z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$z \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x - z}{2} = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.7.1

Kombiniere $z$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z \cdot 2}{2} + \frac{5 x - z}{2} = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{z \cdot 2 + 5 x - z}{2} = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$\frac{z \cdot 2 + 5 x - z}{2} = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.8.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $z$ .

$\frac{2 \cdot z + 5 x - z}{2} = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.1.8.2

Subtrahiere $z$ von $2 z$ .

$\frac{5 x + z}{2} = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$\frac{5 x + z}{2} = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$\frac{5 x + z}{2} = - 8$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{5 x + z}{2} \cdot 2 = - 8 \cdot 2$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x + z}{2} \cdot 2 = - 8 \cdot 2$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x + z = - 8 \cdot 2$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$5 x + z = - 8 \cdot 2$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$5 x + z = - 8 \cdot 2$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$5 x + z = - 16$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$5 x + z = - 16$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$5 x + z = - 16$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 16 - 5 x$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

$z = - 16 - 5 x$

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{z}{4}$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $- \frac{3 x}{4} + \frac{- 16 - 5 x}{4}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 3 x - 16 - 5 x}{4}$

$z = - 16 - 5 x$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 3 x$ .

$y = \frac{- 8 x - 16}{4}$

$z = - 16 - 5 x$

Schritt 3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8 x - 16$ und $4$ .

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x$ heraus.

$y = \frac{4 (- 2 x) - 16}{4}$

$z = - 16 - 5 x$

Schritt 3.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$y = \frac{4 (- 2 x) + 4 \cdot - 4}{4}$

$z = - 16 - 5 x$

Schritt 3.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 2 x) + 4 (- 4)$ heraus.

$y = \frac{4 (- 2 x - 4)}{4}$

$z = - 16 - 5 x$

Schritt 3.1.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{4 (- 2 x - 4)}{4 (1)}$

$z = - 16 - 5 x$

Schritt 3.1.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 (- 2 x - 4)}{4 \cdot 1}$

$z = - 16 - 5 x$

Schritt 3.1.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 2 x - 4}{1}$

$z = - 16 - 5 x$

Schritt 3.1.3.4.4

Dividiere $- 2 x - 4$ durch $1$ .

$y = - 2 x - 4$

$z = - 16 - 5 x$

$y = - 2 x - 4$

$z = - 16 - 5 x$

$y = - 2 x - 4$

$z = - 16 - 5 x$

$y = - 2 x - 4$

$z = - 16 - 5 x$

$y = - 2 x - 4$

$z = - 16 - 5 x$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Stelle $- 16$ und $- 5 x$ um.

$z = - 5 x - 16$

$y = - 2 x - 4$

$z = - 5 x - 16$

$y = - 2 x - 4$