Elementarmathematik Beispiele

$a = 3 (\cos (15) + i \sin (15))$ , $b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 1

Vereinfache das System.

$a = 3 (\cos (15) + i \sin (15)), b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $3 (\cos (15) + i \sin (15))$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Der genau Wert von $\cos (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 2.1.1.1.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$a = 3 (\cos (45 - 30) + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.1.2

Separiere die Negation.

$a = 3 (\cos (45 - (30)) + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.1.3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$a = 3 (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.1.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.1.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.1.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (30) + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.1.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.1.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.1.1.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 2.1.1.1.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.1.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$a = 3 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.1.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.1.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

$a = 3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.1.8.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.1.1.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

$a = 3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

$a = 3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (15))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.2

Der genau Wert von $\sin (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - 30))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.2.2

Separiere die Negation.

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - (30)))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.2.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.2.4

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (30) - \cos (45) \sin (30)))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.2.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.2.6

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (30)))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.2.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.2.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.1.1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.2.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 2.1.1.2.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.2.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.2.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.2.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.2.8.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.1.1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.2.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}))$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4})$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4})$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = 3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4})$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 2.1.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4}$ .

$a = \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

$a = \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

$a = \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

$a = \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$

$b = 2 (\cos (10) + i \sin (10))$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $2 (\cos (10) + i \sin (10))$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Berechne $\cos (10)$ .

$b = 2 (0.98480775 + i \sin (10))$

$a = \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$

Schritt 3.1.1.2

Berechne $\sin (10)$ .

$b = 2 (0.98480775 + i \cdot 0.17364817)$

$a = \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$

Schritt 3.1.1.3

Bringe $0.17364817$ auf die linke Seite von $i$ .

$b = 2 (0.98480775 + 0.17364817 i)$

$a = \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$

$b = 2 (0.98480775 + 0.17364817 i)$

$a = \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$b = 2 \cdot 0.98480775 + 2 (0.17364817 i)$

$a = \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere.

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Schritt 3.1.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.98480775$ .

$b = 1.9696155 + 2 (0.17364817 i)$

$a = \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $0.17364817$ mit $2$ .

$b = 1.9696155 + 0.34729635 i$

$a = \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$

$b = 1.9696155 + 0.34729635 i$

$a = \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$

$b = 1.9696155 + 0.34729635 i$

$a = \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$

$b = 1.9696155 + 0.34729635 i$

$a = \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$

$b = 1.9696155 + 0.34729635 i$

$a = \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$