Elementarmathematik Beispiele

$2 x + 3 y - z = 1$ , $3 x + 5 y + z = 2$

Schritt 1

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - z = 1 - 3 y$

$3 x + 5 y + z = 2$

Schritt 1.1.2

Addiere $z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1 - 3 y + z$

$3 x + 5 y + z = 2$

$2 x = 1 - 3 y + z$

$3 x + 5 y + z = 2$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1 - 3 y + z$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1 - 3 y + z$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 5 y + z = 2$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 5 y + z = 2$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 5 y + z = 2$

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 5 y + z = 2$

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 5 y + z = 2$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 5 y + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 5 y + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 5 y + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 5 y + z = 2$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}) + 5 y + z$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 (\frac{z}{2}) + 5 y + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} + 3 (- \frac{3 y}{2}) + 3 (\frac{z}{2}) + 5 y + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.1.2.2

Multipliziere $3 (- \frac{3 y}{2})$ .

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Schritt 2.1.1.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3}{2} - 3 \frac{3 y}{2} + 3 (\frac{z}{2}) + 5 y + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.1.2.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3 y}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 3 (3 y)}{2} + 3 (\frac{z}{2}) + 5 y + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 9 y}{2} + 3 (\frac{z}{2}) + 5 y + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$\frac{3}{2} + \frac{- 9 y}{2} + 3 (\frac{z}{2}) + 5 y + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{z}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 9 y}{2} + \frac{3 z}{2} + 5 y + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$\frac{3}{2} + \frac{- 9 y}{2} + \frac{3 z}{2} + 5 y + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{2} - \frac{9 y}{2} + \frac{3 z}{2} + 5 y + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$\frac{3}{2} - \frac{9 y}{2} + \frac{3 z}{2} + 5 y + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.2

Um $5 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{3 z}{2} - \frac{9 y}{2} + 5 y \cdot \frac{2}{2} + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $5 y$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{3 z}{2} - \frac{9 y}{2} + \frac{5 y \cdot 2}{2} + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} + \frac{3 z}{2} + \frac{- 9 y + 5 y \cdot 2}{2} + z = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$z + \frac{3 + 3 z - 9 y + 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$z + \frac{3 + 3 z - 9 y + 10 y}{2} = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.7

Addiere $- 9 y$ und $10 y$ .

$z + \frac{3 + 3 z + y}{2} = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.8

Um $z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$z \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 + 3 z + y}{2} = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.9.1

Kombiniere $z$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z \cdot 2}{2} + \frac{3 + 3 z + y}{2} = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{z \cdot 2 + 3 + 3 z + y}{2} = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$\frac{z \cdot 2 + 3 + 3 z + y}{2} = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.10.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $z$ .

$\frac{2 \cdot z + 3 + 3 z + y}{2} = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.1.10.2

Addiere $2 z$ und $3 z$ .

$\frac{5 z + 3 + y}{2} = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$\frac{5 z + 3 + y}{2} = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$\frac{5 z + 3 + y}{2} = 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{5 z + 3 + y}{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache $\frac{5 z + 3 + y}{2} \cdot 2$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 z + 3 + y}{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 z + 3 + y = 2 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$5 z + 3 + y = 2 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Bewege $3$ .

$5 z + y + 3 = 2 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Stelle $5 z$ und $y$ um.

$y + 5 z + 3 = 2 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y + 5 z + 3 = 2 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y + 5 z + 3 = 2 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y + 5 z + 3 = 2 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y + 5 z + 3 = 4$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y + 5 z + 3 = 4$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y + 5 z + 3 = 4$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.4

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $5 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y + 3 = 4 - 5 z$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 4 - 5 z - 3$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$y = - 5 z + 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y = - 5 z + 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y = - 5 z + 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{z}{2}$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\frac{1}{2} - \frac{3 (- 5 z + 1)}{2} + \frac{z}{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{1 - 3 (- 5 z + 1) + z}{2}$

$y = - 5 z + 1$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1 - 3 (- 5 z) - 3 \cdot 1 + z}{2}$

$y = - 5 z + 1$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$x = \frac{1 + 15 z - 3 \cdot 1 + z}{2}$

$y = - 5 z + 1$

Schritt 3.1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$x = \frac{1 + 15 z - 3 + z}{2}$

$y = - 5 z + 1$

$x = \frac{1 + 15 z - 3 + z}{2}$

$y = - 5 z + 1$

Schritt 3.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.3.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x = \frac{15 z - 2 + z}{2}$

$y = - 5 z + 1$

Schritt 3.1.3.2

Addiere $15 z$ und $z$ .

$x = \frac{16 z - 2}{2}$

$y = - 5 z + 1$

Schritt 3.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16 z - 2$ und $2$ .

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Schritt 3.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16 z$ heraus.

$x = \frac{2 (8 z) - 2}{2}$

$y = - 5 z + 1$

Schritt 3.1.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x = \frac{2 (8 z) + 2 \cdot - 1}{2}$

$y = - 5 z + 1$

Schritt 3.1.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (8 z) + 2 (- 1)$ heraus.

$x = \frac{2 (8 z - 1)}{2}$

$y = - 5 z + 1$

Schritt 3.1.3.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (8 z - 1)}{2 (1)}$

$y = - 5 z + 1$

Schritt 3.1.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (8 z - 1)}{2 \cdot 1}$

$y = - 5 z + 1$

Schritt 3.1.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{8 z - 1}{1}$

$y = - 5 z + 1$

Schritt 3.1.3.3.4.4

Dividiere $8 z - 1$ durch $1$ .

$x = 8 z - 1$

$y = - 5 z + 1$

$x = 8 z - 1$

$y = - 5 z + 1$

$x = 8 z - 1$

$y = - 5 z + 1$

$x = 8 z - 1$

$y = - 5 z + 1$

$x = 8 z - 1$

$y = - 5 z + 1$

$x = 8 z - 1$

$y = - 5 z + 1$