Elementarmathematik Beispiele

$x = 4 + 2 \cos (t)$ , $y = - 1 + 4 \sin (t)$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$x = 4 + 2 \cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2

Vereinfache $4 + 2 \cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, \frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, \frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$ $\sqrt{1 - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{1 - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = 4 + 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{y}{4} + \frac{1}{4}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{(1 + \frac{y}{4} + \frac{1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{4}{4} + \frac{1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{4 + 1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.4.3

Addiere $4$ und $1$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (1 - \frac{y}{4} - \frac{1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{4}{4} - \frac{1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{4 - 1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.4.7

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{y + 5}{4} \cdot (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{y + 5}{4} \cdot \frac{- y + 3}{4}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $\frac{y + 5}{4}$ mit $\frac{- y + 3}{4}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{(y + 5) (- y + 3)}{4 \cdot 4}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{(y + 5) (- y + 3)}{16}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.9

Schreibe $\frac{(y + 5) (- y + 3)}{16}$ als ${(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.9.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(y + 5) (- y + 3)$ heraus.

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{16}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.9.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $4^{2}$ aus $16$ heraus.

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{4^{2} \cdot 1}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.9.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{4^{2} \cdot 1}$ um.

$x = 4 + 2 \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + 2 \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = 4 + 2 (\frac{1}{4} \cdot \sqrt{(y + 5) (- y + 3)})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.11

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}$ .

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{4})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.12.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2 (2)})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2 \cdot 2})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.1.12.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{4 \cdot 2 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = \frac{8 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$