Elementarmathematik Beispiele

$\sin (2 x) = y$ , $\sin (x) = \frac{3}{\sqrt{13}}$

Step 1

Vereinfache $\frac{3}{\sqrt{13}}$ .

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Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (x) = \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$

Step 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{3 \sqrt{13}}{13})$

Step 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Berechne $\arcsin (\frac{3 \sqrt{13}}{13})$ .

$x = 0.98279372$

Step 4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.98279372$

Step 5

Löse nach $x$ auf.

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Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.98279372$

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.98279372$

Subtrahiere $0.98279372$ von $3.14159265$ .

$x = 2.15879893$

Step 6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Step 7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.98279372 + 2 π n, 2.15879893 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Step 8

Stelle $0.98279372$ und $2 π n$ um.

$x = 2 π n + 0.98279372$

$2.15879893 + 2 π n$

Step 9

Löse die Gleichung nach $n$ auf.

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Vereinfache jeden Term.

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Wende das Distributivgesetz an.

$(2 \cdot 2.15879893 + 2 (2 π n)) \cdot n + 0.98279372 = 0.98279372 + 2 (2.15879893 + 2 π n) \cdot n$

$2.15879893 + 2 π n$

Mutltipliziere $2$ mit $2.15879893$ .

$(4.31759786 + 2 (2 π n)) \cdot n + 0.98279372 = 0.98279372 + 2 (2.15879893 + 2 π n) \cdot n$

$2.15879893 + 2 π n$

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4.31759786 + 4 (π n)) \cdot n + 0.98279372 = 0.98279372 + 2 (2.15879893 + 2 π n) \cdot n$

$2.15879893 + 2 π n$

Wende das Distributivgesetz an.

$4.31759786 n + 4 π n \cdot n + 0.98279372 = 0.98279372 + 2 (2.15879893 + 2 π n) \cdot n$

$2.15879893 + 2 π n$

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Bewege $n$ .

$4.31759786 n + 4 π (n \cdot n) + 0.98279372 = 0.98279372 + 2 (2.15879893 + 2 π n) \cdot n$

$2.15879893 + 2 π n$

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$4.31759786 n + 4 π n^{2} + 0.98279372 = 0.98279372 + 2 (2.15879893 + 2 π n) \cdot n$

$2.15879893 + 2 π n$

$4.31759786 n + 4 π n^{2} + 0.98279372 = 0.98279372 + 2 (2.15879893 + 2 π n) \cdot n$

$2.15879893 + 2 π n$

$4.31759786 n + 4 π n^{2} + 0.98279372 = 0.98279372 + 2 (2.15879893 + 2 π n) \cdot n$

$2.15879893 + 2 π n$

Vereinfache jeden Term.

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Wende das Distributivgesetz an.

$4.31759786 n + 4 π n^{2} + 0.98279372 = 0.98279372 + (2 \cdot 2.15879893 + 2 (2 π n)) \cdot n$

$2.15879893 + 2 π n$

Mutltipliziere $2$ mit $2.15879893$ .

$4.31759786 n + 4 π n^{2} + 0.98279372 = 0.98279372 + (4.31759786 + 2 (2 π n)) \cdot n$

$2.15879893 + 2 π n$

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4.31759786 n + 4 π n^{2} + 0.98279372 = 0.98279372 + (4.31759786 + 4 (π n)) \cdot n$

$2.15879893 + 2 π n$

Wende das Distributivgesetz an.

$4.31759786 n + 4 π n^{2} + 0.98279372 = 0.98279372 + 4.31759786 n + 4 π n \cdot n$

$2.15879893 + 2 π n$

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Bewege $n$ .

$4.31759786 n + 4 π n^{2} + 0.98279372 = 0.98279372 + 4.31759786 n + 4 π (n \cdot n)$

$2.15879893 + 2 π n$

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$4.31759786 n + 4 π n^{2} + 0.98279372 = 0.98279372 + 4.31759786 n + 4 π n^{2}$

$2.15879893 + 2 π n$

$4.31759786 n + 4 π n^{2} + 0.98279372 = 0.98279372 + 4.31759786 n + 4 π n^{2}$

$2.15879893 + 2 π n$

$4.31759786 n + 4 π n^{2} + 0.98279372 = 0.98279372 + 4.31759786 n + 4 π n^{2}$

$2.15879893 + 2 π n$

Bringe alle Terme, die $n$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Subtrahiere $4.31759786 n$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4.31759786 n + 4 π n^{2} + 0.98279372 - 4.31759786 n = 0.98279372 + 4 π n^{2}$

$2.15879893 + 2 π n$

Subtrahiere $4 π n^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4.31759786 n + 4 π n^{2} + 0.98279372 - 4.31759786 n - 4 π n^{2} = 0.98279372$

$2.15879893 + 2 π n$

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4.31759786 n + 4 π n^{2} + 0.98279372 - 4.31759786 n - 4 π n^{2}$ .

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Subtrahiere $4.31759786 n$ von $4.31759786 n$ .

$0 n + 4 π n^{2} + 0.98279372 - 4 π n^{2} = 0.98279372$

$2.15879893 + 2 π n$

Subtrahiere $4 π n^{2}$ von $4 π n^{2}$ .

$0 n + 0 + 0.98279372 = 0.98279372$

$2.15879893 + 2 π n$

Addiere $0 n$ und $0$ .

$0 n + 0.98279372 = 0.98279372$

$2.15879893 + 2 π n$

$0 n + 0.98279372 = 0.98279372$

$2.15879893 + 2 π n$

Mutltipliziere $0$ mit $n$ .

$0 + 0.98279372 = 0.98279372$

$2.15879893 + 2 π n$

Addiere $0$ und $0.98279372$ .

$0.98279372 = 0.98279372$

$2.15879893 + 2 π n$

$0.98279372 = 0.98279372$

$2.15879893 + 2 π n$

Da $0.98279372 = 0.98279372$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Immer wahr

$2.15879893 + 2 π n$

Immer wahr

$2.15879893 + 2 π n$

Step 10

Das vereinfachte System ist die willkürliche Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems.

Immer wahr

$2.15879893 + 2 (2.15879893 + 2 π n) \cdot n$