Elementarmathematik Beispiele

$x (3 x + 1) > 0$ , $x - 2 < 100$

Schritt 1

Vereinfache die erste Ungleichung.

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Schritt 1.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 x + 1 = 0$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.3

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.3.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (3 x + 1) > 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{1}{3}$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{3} < x < 0$

$x > 0$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 3) (3 (- 3) + 1) > 0$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.6.1.3

Die linke Seite $24$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{3} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{3} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.17$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.17$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 0.17) (3 (- 0.17) + 1) > 0$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.6.2.3

Die linke Seite $- 0.0833$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.6.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2) (3 (2) + 1) > 0$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.6.3.3

Die linke Seite $14$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1}{3}$ Wahr

$- \frac{1}{3} < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr oder $x - 2 < 100$

$x < - \frac{1}{3}$ Wahr

$- \frac{1}{3} < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr oder $x - 2 < 100$

Schritt 1.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{1}{3}$ oder $x > 0$ oder $x - 2 < 100$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < - \frac{1}{3}$ oder $x > 0$ oder $x < 100 + 2$

Schritt 2.2

Addiere $100$ und $2$ .

$x < - \frac{1}{3}$ oder $x > 0$ oder $x < 102$

Schritt 3

Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

Alle reellen Zahlen

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5