Elementarmathematik Beispiele

$n^{3} = - 75$ , $n^{6} = - 9375$

Schritt 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$n = \sqrt[3]{- 75}$

$n^{6} = - 9375$

Schritt 2

Vereinfache $\sqrt[3]{- 75}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $- 75$ als ${(- 1)}^{3} \cdot 75$ um.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$n = \sqrt[3]{- 1 \cdot 75}$

$n^{6} = - 9375$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$n = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 75}$

$n^{6} = - 9375$

$n = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 75}$

$n^{6} = - 9375$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$n = - 1 \sqrt[3]{75}$

$n^{6} = - 9375$

Schritt 2.3

Schreibe $- 1 \sqrt[3]{75}$ als $- \sqrt[3]{75}$ um.

$n = - \sqrt[3]{75}$

$n^{6} = - 9375$

$n = - \sqrt[3]{75}$

$n^{6} = - 9375$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$n = \pm \sqrt[6]{- 9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt[6]{- 9375}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $- 9375$ als $i^{6} \cdot 9375$ um.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $- 9375$ als $- 1 (9375)$ um.

$n = \pm \sqrt[6]{- 1 \cdot 9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $- 1$ als $i^{6}$ um.

$n = \pm \sqrt[6]{i^{6} \cdot 9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

$n = \pm \sqrt[6]{i^{6} \cdot 9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

Schritt 4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$n = \pm i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

$n = \pm i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$n = i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$n = - i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$n = i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

$n = i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

Schritt 6

Da die Wurzeln einer Gleichung die Punkte sind, wo die Lösung gleich $0$ ist, mache jede Wurzel zu einem Faktor der Gleichung, der gleich $0$ ist.

$(n - (- \sqrt[3]{75})) (n - (i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375})) (n - (- i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375})) = 0$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Multipliziere $n + \sqrt[3]{75}$ mit jedem Element der Matrix.

$((n + \sqrt[3]{75}) (n - i \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere $(n + \sqrt[3]{75}) (n - i \sqrt[6]{9375})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(n (n - i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} (n - i \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(n \cdot n + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} (n - i \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(n \cdot n + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n + \sqrt[3]{75} (- i \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n + \sqrt[3]{75} (- i \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.2.2

Multipliziere $\sqrt[3]{75} (- i \sqrt[6]{9375})$ .

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Schritt 7.2.2.2.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $6$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{75}$ als $75^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (75^{\frac{1}{3}} \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Schreibe $75^{\frac{1}{3}}$ als $75^{\frac{2}{6}}$ um.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (75^{\frac{2}{6}} \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.2.2.1.3

Schreibe $75^{\frac{2}{6}}$ als $\sqrt[6]{75^{2}}$ um.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (\sqrt[6]{75^{2}} \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.2.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i \sqrt[6]{75^{2} \cdot 9375}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.2.2.3

Potenziere $75$ mit $2$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i \sqrt[6]{5625 \cdot 9375}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.2.2.4

Mutltipliziere $5625$ mit $9375$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i \sqrt[6]{52734375}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.2.3

Schreibe $52734375$ als $5^{6} \cdot 3375$ um.

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Schritt 7.2.2.3.1

Faktorisiere $15625$ aus $52734375$ heraus.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i \sqrt[6]{15625 (3375)}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.2.3.2

Schreibe $15625$ als $5^{6}$ um.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i \sqrt[6]{5^{6} \cdot 3375}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (5 \sqrt[6]{3375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.2.5

Schreibe $3375$ als $15^{3}$ um.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (5 \sqrt[6]{15^{3}}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.2.6

Schreibe $\sqrt[6]{15^{3}}$ als $\sqrt{\sqrt[3]{15^{3}}}$ um.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (5 \sqrt{\sqrt[3]{15^{3}}}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.2.7

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (5 \sqrt{15}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.2.8

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.4

Multipliziere $\sqrt[3]{75} (- i \sqrt[6]{9375})$ .

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Schritt 7.2.4.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $6$ .

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Schritt 7.2.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{75}$ als $75^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (75^{\frac{1}{3}} \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.4.1.2

Schreibe $75^{\frac{1}{3}}$ als $75^{\frac{2}{6}}$ um.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (75^{\frac{2}{6}} \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.4.1.3

Schreibe $75^{\frac{2}{6}}$ als $\sqrt[6]{75^{2}}$ um.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (\sqrt[6]{75^{2}} \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i \sqrt[6]{75^{2} \cdot 9375}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.4.3

Potenziere $75$ mit $2$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i \sqrt[6]{5625 \cdot 9375}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.4.4

Mutltipliziere $5625$ mit $9375$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i \sqrt[6]{52734375}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.5.1

Schreibe $52734375$ als $5^{6} \cdot 3375$ um.

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Schritt 7.2.5.1.1

Faktorisiere $15625$ aus $52734375$ heraus.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i \sqrt[6]{15625 (3375)}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.5.1.2

Schreibe $15625$ als $5^{6}$ um.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i \sqrt[6]{5^{6} \cdot 3375}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (5 \sqrt[6]{3375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.5.3

Schreibe $3375$ als $15^{3}$ um.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (5 \sqrt[6]{15^{3}})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.5.4

Schreibe $\sqrt[6]{15^{3}}$ als $\sqrt{\sqrt[3]{15^{3}}}$ um.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (5 \sqrt{\sqrt[3]{15^{3}}})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.5.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (5 \sqrt{15})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.5.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - 5 i \sqrt{15}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Schritt 7.2.6

Stelle die Faktoren in $n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - 5 i \sqrt{15}$ um.

$(n^{2} - n i \sqrt[6]{9375} + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, - n i \sqrt[6]{9375} - 5 i \sqrt{15}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$