Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} + 4 x^{2} - 9 x - 36 = 0$ , $x = 3$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} + 4 x^{2}) - 9 x - 36 = 0$

$x = 3$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x + 4) - 9 (x + 4) = 0$

$x = 3$

$x^{2} (x + 4) - 9 (x + 4) = 0$

$x = 3$

Schritt 1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - 9) = 0$

$x = 3$

Schritt 1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x + 4) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

$x = 3$

Schritt 1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x + 4) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

$x = 3$

Schritt 1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

$x = 3$

$(x + 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

$x = 3$

$(x + 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

$x = 3$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Schritt 3

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$x = 3$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

$x = 3$

$x = - 4$

$x = 3$

Schritt 4

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x = 3$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

$x = 3$

$x = - 3$

$x = 3$

Schritt 5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Schritt 5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 4) (x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, - 3, 3$

$x = 3$

Schritt 7

Da die Wurzeln einer Gleichung die Punkte sind, wo die Lösung gleich $0$ ist, mache jede Wurzel zu einem Faktor der Gleichung, der gleich $0$ ist.

$(x - (- 4, - 3, 3)) (x - 3) = 0$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 4, - 3, 3) x + (x + 4, - 3, 3) \cdot - 3 = 0$

Schritt 8.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $(x + 4, - 3, 3)$ .

$(x + 4, - 3, 3) x - 3 \cdot (x + 4, - 3, 3) = 0$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1

Multipliziere $- 3$ mit jedem Element der Matrix.

$(x + 4, - 3, 3) x + (- 3 (x + 4), - 3 \cdot - 3, - 3 \cdot 3) = 0$

Schritt 8.2.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 8.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 4, - 3, 3) x + (- 3 x - 3 \cdot 4, - 3 \cdot - 3, - 3 \cdot 3) = 0$

Schritt 8.2.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$(x + 4, - 3, 3) x + (- 3 x - 12, - 3 \cdot - 3, - 3 \cdot 3) = 0$

Schritt 8.2.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$(x + 4, - 3, 3) x + (- 3 x - 12, 9, - 3 \cdot 3) = 0$

Schritt 8.2.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$(x + 4, - 3, 3) x + (- 3 x - 12, 9, - 9) = 0$

Schritt 8.3

Stelle die Faktoren in $(x + 4, - 3, 3) x + (- 3 x - 12, 9, - 9)$ um.

$x (x + 4, - 3, 3) + (- 3 x - 12, 9, - 9) = 0$