Elementarmathematik Beispiele

$\log_{b} (9) = 3.1699$ , $\log_{b} (5) = 2.2319$

Schritt 1

Schreibe $\log_{b} (9) = 3.1699$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$b^{3.1699} = 9$

Schritt 2

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle den dezimalen Exponenten in einen gebrochenen Exponenten um.

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Schritt 2.1.1

Wandle die Dezimalzahl in einen Bruch um, indem du die Dezimalen über einer Potenz von Zehn notierst. Da es $4$ Ziffern rechts vom Dezimaltrennzeichen gibt, notiere die Dezimalen über $10^{4}$ $(10000)$ . Als Nächstes addiere die ganze Zahl links von den Dezimalen.

$b^{3 \frac{1699}{10000}} = 9$

Schritt 2.1.2

Wandle $3 \frac{1699}{10000}$ in einen unechten Bruch um.

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Schritt 2.1.2.1

Eine gemischter Zahl ist die Summe seines ganzzahligen und seines gebrochenen Teils.

$b^{3 + \frac{1699}{10000}} = 9$

Schritt 2.1.2.2

Addiere $3$ und $\frac{1699}{10000}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10000}{10000}$ .

$b^{3 \cdot \frac{10000}{10000} + \frac{1699}{10000}} = 9$

Schritt 2.1.2.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{10000}{10000}$ .

$b^{\frac{3 \cdot 10000}{10000} + \frac{1699}{10000}} = 9$

Schritt 2.1.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b^{\frac{3 \cdot 10000 + 1699}{10000}} = 9$

Schritt 2.1.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $10000$ .

$b^{\frac{30000 + 1699}{10000}} = 9$

Schritt 2.1.2.2.4.2

Addiere $30000$ und $1699$ .

$b^{\frac{31699}{10000}} = 9$

Schritt 2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{1}{3.1699}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(b^{\frac{31699}{10000}})}^{\frac{1}{3.1699}} = 9^{\frac{1}{3.1699}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache ${(b^{\frac{31699}{10000}})}^{\frac{1}{3.1699}}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(b^{\frac{31699}{10000}})}^{\frac{1}{3.1699}}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b^{\frac{31699}{10000} \cdot \frac{1}{3.1699}} = 9^{\frac{1}{3.1699}}$

Schritt 2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3.1699$ .

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Schritt 2.3.1.1.1.2.1

Faktorisiere $3.1699$ aus $31699$ heraus.

$b^{\frac{3.1699 (10000)}{10000} \cdot \frac{1}{3.1699}} = 9^{\frac{1}{3.1699}}$

Schritt 2.3.1.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b^{\frac{3.1699 \cdot 10000}{10000} \cdot \frac{1}{3.1699}} = 9^{\frac{1}{3.1699}}$

Schritt 2.3.1.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b^{\frac{10000}{10000}} = 9^{\frac{1}{3.1699}}$

Schritt 2.3.1.1.1.3

Dividiere $10000$ durch $10000$ .

$b^{1} = 9^{\frac{1}{3.1699}}$

Schritt 2.3.1.1.2

Vereinfache.

$b = 9^{\frac{1}{3.1699}}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $9^{\frac{1}{3.1699}}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Dividiere $1$ durch $3.1699$ .

$b = 9^{0.31546736}$

Schritt 2.3.2.1.2

Potenziere $9$ mit $0.31546736$ .

$b = 2.00001093$

Schritt 3

Ersetze alle $b$ in $\log_{b} (5) = 2.2319$ durch $2.00001093$ .

$\log_{2.00001093} (5) = 2.2319$

$b = 2.00001093$

Schritt 4

Da $\log_{2.00001093} (5) = 2.2319$ nicht wahr ist, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung