Elementarmathematik Beispiele

$y < x^{2}$ , $6 x - 5 y < 30$

Schritt 1

Vereinfache die erste Ungleichung.

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Schritt 1.1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$x^{2} > y$ und $6 x - 5 y < 30$

Schritt 1.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{y}$ und $6 x - 5 y < 30$

Schritt 1.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{y}$ und $6 x - 5 y < 30$

Schritt 1.4

Schreibe $| x | > \sqrt{y}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > \sqrt{y}$

Schritt 1.4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $x > \sqrt{y}$ und ermittle die Schnittmenge mit $x \geq 0$ .

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Schritt 1.4.3.1

Bestimme den Definitionsbereich von $x > \sqrt{y}$ .

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Schritt 1.4.3.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{y}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y \geq 0$

Schritt 1.4.3.1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 1.4.3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 0$ und $[0, \infty)$ .

$x \geq 0$

Schritt 1.4.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.4.5

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > \sqrt{y}$

Schritt 1.4.6

Bestimme den Definitionsbereich von $- x > \sqrt{y}$ und ermittle die Schnittmenge mit $x < 0$ .

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Schritt 1.4.6.1

Bestimme den Definitionsbereich von $- x > \sqrt{y}$ .

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Schritt 1.4.6.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{y}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y \geq 0$

Schritt 1.4.6.1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 1.4.6.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < 0$ und $[0, \infty)$ .

$Keine Lösung$

Schritt 1.4.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > \sqrt{y} & x \geq 0 \end{cases}$ und $6 x - 5 y < 30$

Schritt 1.5

Löse $x > \sqrt{y}$ , wenn $x \geq 0$ ergibt.

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Schritt 1.5.1

Löse $x > \sqrt{y}$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.5.1.1

Stelle so um, dass $y$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$\sqrt{y} < x$ und $6 x - 5 y < 30$

Schritt 1.5.1.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{y}}^{2} < x^{2}$ und $6 x - 5 y < 30$

Schritt 1.5.1.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.5.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} < x^{2}$ und $6 x - 5 y < 30$

Schritt 1.5.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.1.3.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.5.1.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.5.1.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} < x^{2}$ und $6 x - 5 y < 30$

Schritt 1.5.1.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} < x^{2}$ und $6 x - 5 y < 30$

Schritt 1.5.1.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y < x^{2}$ und $6 x - 5 y < 30$

Schritt 1.5.1.3.2.1.2

Vereinfache.

$y < x^{2}$ und $6 x - 5 y < 30$

Schritt 1.5.2

Bestimme die Schnittmenge von $y < x^{2}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x < x^{2}$ und $6 x - 5 y < 30$

Schritt 1.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$0 \leq x < x^{2}$ und $6 x - 5 y < 30$

Schritt 2

Vereinfache die zweite Ungleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $5 y$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$0 \leq x < x^{2}$ und $6 x < 30 + 5 y$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x < 30 + 5 y$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x < 30 + 5 y$ durch $6$ .

$0 \leq x < x^{2}$ und $\frac{6 x}{6} < \frac{30}{6} + \frac{5 y}{6}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 \leq x < x^{2}$ und $\frac{6 x}{6} < \frac{30}{6} + \frac{5 y}{6}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$0 \leq x < x^{2}$ und $x < \frac{30}{6} + \frac{5 y}{6}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $30$ durch $6$ .

$0 \leq x < x^{2}$ und $x < 5 + \frac{5 y}{6}$

Schritt 3